2588.

Trigonometrijske funkcije poluugla

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz koristeći trigonometrijske identitete polovičnog ugla:

\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} \text{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \alpha
REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo identitet za tangens polovičnog ugla pod korenom. Znamo da je 1−cos⁡α1+cos⁡α=∣tgα2∣. \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} = |\text{tg} \frac{\alpha}{2}| .

1−cos⁡α1+cos⁡α=∣tgα2∣\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} = \left| \text{tg} \frac{\alpha}{2} \right|

Definišemo apsolutnu vrednost izraza tgα2: \text{tg} \frac{\alpha}{2} :

∣tgα2∣={tgα2,za tgα2≥0−tgα2,za tgα2<0\left| \text{tg} \frac{\alpha}{2} \right| = \begin{cases} \text{tg} \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \text{tg} \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\text{tg} \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \text{tg} \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Pretpostavljamo da je izraz definisan u intervalu gde je tgα2>0 \text{tg} \frac{\alpha}{2} > 0 kako bismo uprostili izraz. Tada je ∣tgα2∣=tgα2. \left| \text{tg} \frac{\alpha}{2} \right| = \text{tg} \frac{\alpha}{2} . Zamenjujemo to u početni izraz:

tgα2⋅ctgα2−sin⁡2α\text{tg} \frac{\alpha}{2} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet tgx⋅ctgx=1: \text{tg} x \cdot \text{ctg} x = 1 :

1−sin⁡2α1 - \sin^2 \alpha

Primenjujemo identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 da dobijemo konačan rezultat:

1−sin⁡2α=cos⁡2α1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha

U opštem slučaju, uzimajući u obzir znak tangensa, izraz se svodi na:

sgn(tgα2)−sin⁡2α\text{sgn}(\text{tg} \frac{\alpha}{2}) - \sin^2 \alpha

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti