Tangens poluugla: koren iz (1 − cos α)/(1 + cos α)

Primenjujemo identitet za tangens polovičnog ugla pod korenom. Znamo da je $\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} = |\text{tg} \frac{\alpha}{2}| .$

\sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{1 + \cos \alpha}} = \left| \text{tg} \frac{\alpha}{2} \right|

Definišemo apsolutnu vrednost izraza $\text{tg} \frac{\alpha}{2} :$

\left| \text{tg} \frac{\alpha}{2} \right| = \begin{cases} \text{tg} \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \text{tg} \frac{\alpha}{2} \ge 0 \\ -\text{tg} \frac{\alpha}{2}, & \text{za } \text{tg} \frac{\alpha}{2} < 0 \end{cases}

Pretpostavljamo da je izraz definisan u intervalu gde je $\text{tg} \frac{\alpha}{2} > 0$ kako bismo uprostili izraz. Tada je $\left| \text{tg} \frac{\alpha}{2} \right| = \text{tg} \frac{\alpha}{2} .$ Zamenjujemo to u početni izraz:

\text{tg} \frac{\alpha}{2} \cdot \text{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sin^2 \alpha

Koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\text{tg} x \cdot \text{ctg} x = 1 :$

1 - \sin^2 \alpha

Primenjujemo identitet $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ da dobijemo konačan rezultat:

1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha

U opštem slučaju, uzimajući u obzir znak tangensa, izraz se svodi na:

\text{sgn}(\text{tg} \frac{\alpha}{2}) - \sin^2 \alpha

Započni učenje

Online časovi

733.b

Beleške