2719. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

REŠENJE ZADATKA

Period zbira funkcija jednak je najmanjem zajedničkom sadržaocu (NZS) pojedinačnih perioda sabiraka. Prvo računamo periode za svaku funkciju ponaosob koristeći formule za osnovne periode sinusne, kosinusne i tangentne funkcije.

Računamo period prve funkcije $f_1(x) = \sin \frac{3x}{7} .$ Koristimo formulu $T = \frac{2\pi}{|a|}$ gde je $a$ koeficijent uz $x .$

T_1 = \frac{2\pi}{\frac{3}{7}} = \frac{14\pi}{3}

Računamo period druge funkcije $f_2(x) = \cos \frac{x}{3} .$ Koristimo istu formulu za kosinusnu funkciju.

T_2 = \frac{2\pi}{\frac{1}{3}} = 6\pi

Računamo period treće funkcije $f_3(x) = \text{tg} \frac{2x}{5} .$ Osnovni period za tangens je $\pi ,$ pa koristimo formulu $T = \frac{\pi}{|a|} .$

T_3 = \frac{\pi}{\frac{2}{5}} = \frac{5\pi}{2}

Sada tražimo najmanji zajednički sadržalac za dobijene periode. Da bismo lakše našli NZS razlomaka, svedimo ih na zajednički imenilac.

T_1 = \frac{14\pi}{3} = \frac{28\pi}{6}, \quad T_2 = \frac{36\pi}{6}, \quad T_3 = \frac{15\pi}{6}

Period funkcije $f(x)$ je NZS brojeva u brojiocu podeljen sa zajedničkim imeniocem.

T = \frac{\text{NZS}(28, 36, 15) \cdot \pi}{6}

Računamo NZS za brojeve 28, 36 i 15. Rastavljanjem na proste činioce dobijamo: $28 = 2^2 \cdot 7 ,$ $36 = 2^2 \cdot 3^2 ,$ $15 = 3 \cdot 5 .$ NZS je $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 1260 .$

T = \frac{1260\pi}{6} = 210\pi

Konačni period funkcije je:

T = 210\pi

829.b