2771. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Da bismo odredili osnovni period funkcije, transformisaćemo izraz koristeći formule za polovinu ugla kako bismo smanjili stepen kosinusa.

\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

Zapišimo funkciju $f(x)$ kao kvadrat izraza $\cos^2 x$ i primenimo navedenu formulu.

f(x) = (\cos^2 x)^2 = \left( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right)^2

Kvadriramo dobijeni izraz.

f(x) = \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{4}\cos^2(2x)

Ponovo primenjujemo formulu za smanjenje stepena, ovog puta na član $\cos^2(2x) .$

\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}

Zamenjujemo dobijeni izraz nazad u funkciju $f(x) .$

f(x) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{4} \left( \frac{1 + \cos(4x)}{2} \right)

Sređujemo izraz do konačnog linearnog oblika po trigonometrijskim funkcijama.

f(x) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)

Funkcija je sada predstavljena kao zbir konstante i dve trigonometrijske funkcije. Računamo njihove osnovne periode koristeći formulu $T = \frac{2\pi}{\omega} .$

T_1 = \frac{2\pi}{2} = \pi, \quad T_2 = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

Osnovni period funkcije $f(x)$ je najmanji zajednički sadržalac perioda njenih sabiraka.

T = \text{NZS}\left(\pi, \frac{\pi}{2}\right) = \pi

858.g