2768. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Polazimo od osnovnog trigonometrijskog identiteta $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ i kvadriramo ga kako bismo dobili četvrte stepene.

(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 = 1^2

Razvijamo kvadrat binoma na levoj strani jednakosti.

\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = 1

Izražavamo zbir četvrtih stepena sinusa i kosinusa koji predstavlja našu funkciju $f(x) .$

\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x

Koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin(2x) = 2\sin x \cos x .$ Kvadriranjem ove formule dobijamo $\sin^2(2x) = 4\sin^2 x \cos^2 x ,$ pa izraz možemo transformisati.

2\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2} \cdot 4\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{2}\sin^2(2x)

Zamenjujemo dobijeni izraz nazad u funkciju.

f(x) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)

Da bismo odredili period, potrebno je da snizimo stepen funkcije koristeći formulu polovine ugla $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2} ,$ gde je $\alpha = 2x .$

\sin^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}

Ubacujemo ovo u izraz za funkciju i sređujemo ga.

f(x) = 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{1 - \cos(4x)}{2} \right) = 1 - \frac{1 - \cos(4x)}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos(4x)

Funkcija je sada svedena na oblik $A + B\cos(\omega x) ,$ gde je $\omega = 4 .$ Osnovni period funkcije $\cos(\omega x)$ računamo po formuli $T = \frac{2\pi}{|\omega|} .$

T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

858.d