2767. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Transformišemo dati izraz koristeći formulu za zbir kubova: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) .$

\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x)^3 + (\cos^2 x)^3

Primenjujemo formulu na naš izraz, gde je $a = \sin^2 x$ i $b = \cos^2 x .$

(\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)

Kako je osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 ,$ izraz se pojednostavljuje.

1 \cdot (\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x) = \sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x

Da bismo formirali kvadrat binoma, dodajemo i oduzimamo $2\sin^2 x \cos^2 x .$

\sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x - 2\sin^2 x \cos^2 x - \sin^2 x \cos^2 x

Grupišemo prva tri člana u kvadrat binoma i sabiramo preostala dva.

(\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 3\sin^2 x \cos^2 x

Ponovo koristimo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 .$

1^2 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x

Koristimo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin(2x) = 2\sin x \cos x ,$ odakle sledi da je $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{\sin^2(2x)}{4} .$

1 - 3 \cdot \frac{\sin^2(2x)}{4} = 1 - \frac{3}{4}\sin^2(2x)

Primenjujemo formulu za snižavanje stepena $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ za $\alpha = 2x .$

1 - \frac{3}{4} \cdot \frac{1 - \cos(4x)}{2}

Sređujemo dobijeni izraz kako bismo dobili konačan oblik funkcije.

1 - \frac{3}{8} + \frac{3}{8}\cos(4x) = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos(4x)

Osnovni period funkcije oblika $f(x) = A + B\cos(kx)$ se računa po formuli $T = \frac{2\pi}{|k|} .$ U našem slučaju je $k = 4 .$

T = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}

2767.Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija