Podeli

2766.
Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

REŠENJE ZADATKA

Određujemo domen funkcije. Funkcija kosinus je definisana za sve realne brojeve.

D = \mathbb{R}

Ispitujemo periodičnost funkcije. Osnovni period funkcije kosinus je $2\pi .$

T = 2\pi

Ispitujemo parnost i neparnost funkcije. Računamo $f(-x) :$

f(-x) = \cos \left( -x - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right)

Pošto $f(-x) \neq f(x)$ i $f(-x) \neq -f(x) ,$ funkcija nije ni parna ni neparna.

Određujemo nule funkcije rešavanjem jednačine $f(x) = 0 :$

\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 0

Kosinus je jednak nuli kada je argument jednak $\frac{\pi}{2} + k\pi ,$ gde je $k \in \mathbb{Z} :$

x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Određujemo presek sa y-osom računajući $f(0) :$

f(0) = \cos \left( 0 - \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Određujemo znak funkcije. Funkcija je pozitivna ( $f(x) > 0$ ) kada je kosinus pozitivan:

-\frac{\pi}{2} + 2k\pi < x - \frac{\pi}{4} < \frac{\pi}{2} + 2k\pi \implies -\frac{\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Funkcija je negativna ( $f(x) < 0$ ) kada je kosinus negativan:

\frac{\pi}{2} + 2k\pi < x - \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \implies \frac{3\pi}{4} + 2k\pi < x < \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Tražimo prvi izvod funkcije kako bismo ispitali monotonost i ekstremne vrednosti:

f'(x) = -\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right)

Određujemo stacionarne tačke rešavanjem jednačine $f'(x) = 0 :$

-\sin \left( x - \frac{\pi}{4} \right) = 0 \implies x - \frac{\pi}{4} = k\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Za $k = 2m$ (parni umnošci), dobijamo tačke maksimuma:

x_{max} = \frac{\pi}{4} + 2m\pi, \quad y_{max} = \cos(0) = 1

Za $k = 2m + 1$ (neparni umnošci), dobijamo tačke minimuma:

x_{min} = \frac{5\pi}{4} + 2m\pi, \quad y_{min} = \cos(\pi) = -1

Tražimo drugi izvod funkcije kako bismo ispitali konveksnost i prevojne tačke:

f''(x) = -\cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right)

Prevojne tačke se nalaze tamo gde je drugi izvod jednak nuli, što se poklapa sa nulama funkcije:

f''(x) = 0 \implies x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Na osnovu sprovedene analize, grafik funkcije je standardna kosinusoida koja je translirana udesno duž x-ose za $\frac{\pi}{4} .$

2766.Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija