Deljenje zagrade sa x kroz (x + y) i y kroz (y − x)

Pre početka rešavanja, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli:

\begin{aligned} x+y &\neq 0 \implies x \neq -y \\ y-x &\neq 0 \implies x \neq y \\ x^2-y^2 &\neq 0 \implies x \neq \pm y \end{aligned}

Takođe, izraz kojim delimo ne sme biti jednak nuli. Postavljamo uslov za delilac:

x+y - \frac{4xy}{x+y} \neq 0

Sređujemo delilac kako bismo odredili konačan uslov i pripremili ga za deljenje. Svodeći na zajednički imenilac dobijamo:

\frac{(x+y)^2 - 4xy}{x+y} = \frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{x+y} = \frac{x^2-2xy+y^2}{x+y} = \frac{(x-y)^2}{x+y}

Iz ovoga vidimo da mora važiti $(x-y)^2 \neq 0 ,$ što znači $x \neq y .$ Dakle, konačni uslovi definisanosti su:

x \neq y \quad \text{i} \quad x \neq -y

Sada prelazimo na sređivanje prve zagrade. Primetimo da je $y-x = -(x-y)$ i $x^2-y^2 = (x-y)(x+y) .$ Zapisujemo izraz sa ovim izmenama:

\frac{x}{x+y} - \frac{y}{x-y} - \frac{2xy}{(x-y)(x+y)}

Svodeći razlomke na zajednički imenilac $(x-y)(x+y) ,$ dobijamo:

\frac{x(x-y) - y(x+y) - 2xy}{(x-y)(x+y)}

Množimo članove u brojiocu:

\frac{x^2 - xy - xy - y^2 - 2xy}{(x-y)(x+y)}

Grupišemo slične članove u brojiocu:

\frac{x^2 - 4xy - y^2}{(x-y)(x+y)}

Sada se vraćamo na početni izraz i menjamo prvu i drugu zagradu njihovim uprošćenim oblicima:

\frac{x^2 - 4xy - y^2}{(x-y)(x+y)} : \frac{(x-y)^2}{x+y}

Deljenje razlomaka prelazimo u množenje recipročnom vrednošću:

\frac{x^2 - 4xy - y^2}{(x-y)(x+y)} \cdot \frac{x+y}{(x-y)^2}

Skraćujemo $x+y$ u brojiocu i imeniocu (što je dozvoljeno jer je $x \neq -y$ ):

\frac{x^2 - 4xy - y^2}{x-y} \cdot \frac{1}{(x-y)^2}

Množenjem preostalih članova dobijamo konačan rezultat:

\frac{x^2 - 4xy - y^2}{(x-y)^3}

643.a