4260.

642.b

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz:

[(x−yx+y+x+yx−y)⋅(1+x2+y22xy)]:x2+y2xy\left[ \left( \frac{x-y}{x+y} + \frac{x+y}{x-y} \right) \cdot \left( 1 + \frac{x^2+y^2}{2xy} \right) \right] : \frac{x^2+y^2}{xy}
REŠENJE ZADATKA

Pre početka rešavanja, moramo odrediti uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli, a takođe i izraz kojim delimo ne sme biti nula.

x+y≠0,x−y≠0,2xy≠0,x2+y2≠0x+y \neq 0, \quad x-y \neq 0, \quad 2xy \neq 0, \quad x^2+y^2 \neq 0

Iz ovih uslova dobijamo da promenljive ne smeju biti nula, niti smeju biti jednake po apsolutnoj vrednosti.

x≠0,y≠0,x≠y,x≠−yx \neq 0, \quad y \neq 0, \quad x \neq y, \quad x \neq -y

Prvo svodimo sabirke u prvoj zagradi na zajednički imenilac (x+y)(x−y). (x+y)(x-y) .

x−yx+y+x+yx−y=(x−y)2+(x+y)2(x+y)(x−y)\frac{x-y}{x+y} + \frac{x+y}{x-y} = \frac{(x-y)^2 + (x+y)^2}{(x+y)(x-y)}

Kvadriramo binome u brojiocu.

(x2−2xy+y2)+(x2+2xy+y2)(x+y)(x−y)\frac{(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2)}{(x+y)(x-y)}

Sređujemo brojilac sabiranjem sličnih monoma.

2x2+2y2(x+y)(x−y)=2(x2+y2)(x+y)(x−y)\frac{2x^2 + 2y^2}{(x+y)(x-y)} = \frac{2(x^2+y^2)}{(x+y)(x-y)}

Sada svodimo izraz u drugoj zagradi na zajednički imenilac 2xy. 2xy .

1+x2+y22xy=2xy+x2+y22xy1 + \frac{x^2+y^2}{2xy} = \frac{2xy + x^2 + y^2}{2xy}

Prepoznajemo kvadrat binoma u brojiocu.

(x+y)22xy\frac{(x+y)^2}{2xy}

Vraćamo dobijene izraze u početni zadatak i množimo ih.

[2(x2+y2)(x+y)(x−y)⋅(x+y)22xy]:x2+y2xy\left[ \frac{2(x^2+y^2)}{(x+y)(x-y)} \cdot \frac{(x+y)^2}{2xy} \right] : \frac{x^2+y^2}{xy}

Skraćujemo 2 2 i (x+y) (x+y) u srednjoj zagradi.

(x2+y2)(x+y)xy(x−y):x2+y2xy\frac{(x^2+y^2)(x+y)}{xy(x-y)} : \frac{x^2+y^2}{xy}

Deljenje razlomkom prelazimo u množenje njegovom recipročnom vrednošću.

(x2+y2)(x+y)xy(x−y)⋅xyx2+y2\frac{(x^2+y^2)(x+y)}{xy(x-y)} \cdot \frac{xy}{x^2+y^2}

Skraćujemo xy xy i (x2+y2) (x^2+y^2) kako bismo dobili konačan rezultat.

x+yx−y\frac{x+y}{x-y}