4261.

646.đ

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz:

(x3y3+1):(x2y2−xy+1)\left( \frac{x^3}{y^3} + 1 \right) : \left( \frac{x^2}{y^2} - \frac{x}{y} + 1 \right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imamo razlomke čiji je imenilac y, y , pa mora važiti:

y≠0y \neq 0

Takođe, izraz kojim delimo (delilac) ne sme biti jednak nuli. Proveravamo izraz x2y2−xy+1. \frac{x^2}{y^2} - \frac{x}{y} + 1 . Dopuštanjem potpunog kvadrata vidimo da je ovaj izraz uvek pozitivan:

x2y2−xy+1=(xy−12)2+34>0\frac{x^2}{y^2} - \frac{x}{y} + 1 = \left(\frac{x}{y} - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0

Pošto je delilac uvek strogo veći od nule za svako realno x x i y≠0, y \neq 0 , jedini uslov definisanosti ostaje y≠0. y \neq 0 . Sada možemo da uprostimo izraz. Primetimo da se prva zagrada može faktorisati koristeći formulu za zbir kubova a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2), a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) , gde je a=xy a = \frac{x}{y} i b=1: b = 1 :

x3y3+1=(xy)3+13=(xy+1)((xy)2−xy⋅1+12)\frac{x^3}{y^3} + 1 = \left( \frac{x}{y} \right)^3 + 1^3 = \left( \frac{x}{y} + 1 \right) \left( \left(\frac{x}{y}\right)^2 - \frac{x}{y} \cdot 1 + 1^2 \right)

Sređivanjem druge zagrade dobijamo:

x3y3+1=(xy+1)(x2y2−xy+1)\frac{x^3}{y^3} + 1 = \left( \frac{x}{y} + 1 \right) \left( \frac{x^2}{y^2} - \frac{x}{y} + 1 \right)

Zamenjujemo dobijeni oblik nazad u početni izraz. Deljenje možemo zapisati u obliku razlomka:

(x3y3+1):(x2y2−xy+1)=(xy+1)(x2y2−xy+1)x2y2−xy+1\left( \frac{x^3}{y^3} + 1 \right) : \left( \frac{x^2}{y^2} - \frac{x}{y} + 1 \right) = \frac{\left( \frac{x}{y} + 1 \right) \left( \frac{x^2}{y^2} - \frac{x}{y} + 1 \right)}{\frac{x^2}{y^2} - \frac{x}{y} + 1}

Skraćujemo isti izraz u brojiocu i imeniocu (što smemo da uradimo jer smo pokazali da je različit od nule):

xy+1\frac{x}{y} + 1

Na kraju, svodimo dobijeni izraz na zajednički imenilac:

x+yy\frac{x + y}{y}