4262. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i odredi uslove definisanosti:

\frac{9-3x}{x^2-6x+9} \cdot \frac{x^3-27}{2x^2+6x+18}

REŠENJE ZADATKA

Da bismo uprostili izraz, prvo ćemo faktorisati polinome u brojiocima i imeniocima.

Faktorišemo prvi brojilac izdvajanjem zajedničkog činioca:

9-3x = -3(x-3)

Prvi imenilac je kvadrat binoma:

x^2-6x+9 = (x-3)^2

Drugi brojilac je razlika kubova:

x^3-27 = x^3-3^3 = (x-3)(x^2+3x+9)

Faktorišemo drugi imenilac izdvajanjem zajedničkog činioca:

2x^2+6x+18 = 2(x^2+3x+9)

Zamenjujemo faktorisane oblike u početni izraz:

\frac{-3(x-3)}{(x-3)^2} \cdot \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{2(x^2+3x+9)}

Pre skraćivanja, određujemo uslove definisanosti. Imenioci moraju biti različiti od nule:

(x-3)^2 \neq 0 \quad \text{i} \quad 2(x^2+3x+9) \neq 0

Iz prvog uslova dobijamo:

x-3 \neq 0 \implies x \neq 3

Za drugi uslov, posmatramo kvadratni trinom $x^2+3x+9 .$ Njegova diskriminanta je $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0 .$ Pošto je diskriminanta negativna i koeficijent uz $x^2$ pozitivan, trinom je uvek veći od nule za svako realno $x .$ Dakle, drugi imenilac nikada nije nula.

x^2+3x+9 > 0 \quad \text{za svako } x \in \mathbb{R}

Konačan uslov definisanosti je:

x \neq 3

Sada možemo da skratimo izraz. Skraćujemo $x^2+3x+9$ u drugom razlomku:

\frac{-3(x-3)}{(x-3)^2} \cdot \frac{x-3}{2}

Množimo preostale razlomke:

\frac{-3(x-3)(x-3)}{2(x-3)^2} = \frac{-3(x-3)^2}{2(x-3)^2}

Skraćujemo $(x-3)^2$ (što je dozvoljeno jer je $x \neq 3$ ):

-\frac{3}{2}

646.v