4254.

644.b

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i navedi uslove pod kojima je definisan:

[(1a+1b+c):(1a−1b+c)]:(1+b2+c2−a22bc)\left[ \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b+c} \right) : \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b+c} \right) \right] : \left( 1 + \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove pod kojima je izraz definisan. Svi imenioci moraju biti različiti od nule, a takođe i izrazi kojima se deli moraju biti različiti od nule.

a≠0,  b≠0,  c≠0,  b+c≠0,  b+c−a≠0,  a+b+c≠0a \neq 0, \; b \neq 0, \; c \neq 0, \; b+c \neq 0, \; b+c-a \neq 0, \; a+b+c \neq 0

Sređujemo izraz u prvoj maloj zagradi svođenjem na zajednički imenilac.

1a+1b+c=b+c+aa(b+c)\frac{1}{a} + \frac{1}{b+c} = \frac{b+c+a}{a(b+c)}

Sređujemo izraz u drugoj maloj zagradi svođenjem na zajednički imenilac.

1a−1b+c=b+c−aa(b+c)\frac{1}{a} - \frac{1}{b+c} = \frac{b+c-a}{a(b+c)}

Delimo dobijene razlomke unutar srednje zagrade. Deljenje razlomaka se svodi na množenje recipročnom vrednošću.

[b+c+aa(b+c):b+c−aa(b+c)]=b+c+aa(b+c)⋅a(b+c)b+c−a=a+b+cb+c−a\left[ \frac{b+c+a}{a(b+c)} : \frac{b+c-a}{a(b+c)} \right] = \frac{b+c+a}{a(b+c)} \cdot \frac{a(b+c)}{b+c-a} = \frac{a+b+c}{b+c-a}

Sređujemo izraz u trećoj zagradi svođenjem na zajednički imenilac.

1+b2+c2−a22bc=2bc+b2+c2−a22bc1 + \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}

Prepoznajemo kvadrat binoma u brojiocu i primenjujemo razliku kvadrata.

(b2+2bc+c2)−a22bc=(b+c)2−a22bc=(b+c−a)(b+c+a)2bc\frac{(b^2+2bc+c^2)-a^2}{2bc} = \frac{(b+c)^2-a^2}{2bc} = \frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2bc}

Sada delimo rezultat iz srednje zagrade sa sređenim izrazom iz treće zagrade.

a+b+cb+c−a:(b+c−a)(b+c+a)2bc\frac{a+b+c}{b+c-a} : \frac{(b+c-a)(b+c+a)}{2bc}

Množimo recipročnom vrednošću i skraćujemo iste članove u brojiocu i imeniocu.

a+b+cb+c−a⋅2bc(b+c−a)(a+b+c)=2bc(b+c−a)2\frac{a+b+c}{b+c-a} \cdot \frac{2bc}{(b+c-a)(a+b+c)} = \frac{2bc}{(b+c-a)^2}