Proizvod razlomaka sa x na 4 − y na 4 i kvadratom

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli:

x^4-y^4 \neq 0 \quad \text{i} \quad x-y \neq 0

Rastavljamo izraz $x^4-y^4$ primenom formule za razliku kvadrata:

x^4-y^4 = (x^2-y^2)(x^2+y^2) = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)

Pošto je $x^2+y^2 > 0$ za sve realne brojeve (osim kada su oba nula), uslovi definisanosti se svode na:

x \neq y \quad \text{i} \quad x \neq -y

Sada faktorišemo brojioce. U prvom brojiocu izvlačimo zajednički faktor $x^2 ,$ a drugi brojilac prepoznajemo kao kvadrat binoma:

\begin{aligned} x^3+yx^2 &= x^2(x+y) \\ x^2-2xy+y^2 &= (x-y)^2 \end{aligned}

Zamenjujemo faktorisane oblike nazad u početni izraz:

\frac{x^2(x+y)}{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)} \cdot \frac{(x-y)^2}{x-y}

Skraćujemo razlomke. U prvom razlomku skraćujemo zajednički faktor $x+y ,$ a u drugom $x-y :$

\frac{x^2}{(x-y)(x^2+y^2)} \cdot (x-y)

Množimo preostale izraze i skraćujemo $x-y :$

\frac{x^2(x-y)}{(x-y)(x^2+y^2)} = \frac{x^2}{x^2+y^2}

646.b