4255.

646.b

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i odredi uslove definisanosti:

x3+yx2x4−y4⋅x2−2xy+y2x−y\frac{x^3+yx^2}{x^4-y^4} \cdot \frac{x^2-2xy+y^2}{x-y}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli:

x4−y4≠0ix−y≠0x^4-y^4 \neq 0 \quad \text{i} \quad x-y \neq 0

Rastavljamo izraz x4−y4 x^4-y^4 primenom formule za razliku kvadrata:

x4−y4=(x2−y2)(x2+y2)=(x−y)(x+y)(x2+y2)x^4-y^4 = (x^2-y^2)(x^2+y^2) = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)

Pošto je x2+y2>0 x^2+y^2 > 0 za sve realne brojeve (osim kada su oba nula), uslovi definisanosti se svode na:

x≠yix≠−yx \neq y \quad \text{i} \quad x \neq -y

Sada faktorišemo brojioce. U prvom brojiocu izvlačimo zajednički faktor x2, x^2 , a drugi brojilac prepoznajemo kao kvadrat binoma:

x3+yx2=x2(x+y)x2−2xy+y2=(x−y)2\begin{aligned} x^3+yx^2 &= x^2(x+y) \\ x^2-2xy+y^2 &= (x-y)^2 \end{aligned}

Zamenjujemo faktorisane oblike nazad u početni izraz:

x2(x+y)(x−y)(x+y)(x2+y2)⋅(x−y)2x−y\frac{x^2(x+y)}{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)} \cdot \frac{(x-y)^2}{x-y}

Skraćujemo razlomke. U prvom razlomku skraćujemo zajednički faktor x+y, x+y , a u drugom x−y: x-y :

x2(x−y)(x2+y2)⋅(x−y)\frac{x^2}{(x-y)(x^2+y^2)} \cdot (x-y)

Množimo preostale izraze i skraćujemo x−y: x-y :

x2(x−y)(x−y)(x2+y2)=x2x2+y2\frac{x^2(x-y)}{(x-y)(x^2+y^2)} = \frac{x^2}{x^2+y^2}