Deljenje zagrade sa (a + b) na 3 kroz 3ab

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

3ab \neq 0 \implies a \neq 0 \land b \neq 0

Sređujemo izraz u prvoj zagradi (deljenik). Izvlačimo zajednički činilac $a+b$ ispred zagrade:

\frac{(a+b)^3}{3ab} - (a+b) = (a+b) \left[ \frac{(a+b)^2}{3ab} - 1 \right]

Kvadriramo binom i svodimo izraz u srednjoj zagradi na zajednički imenilac:

(a+b) \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 3ab}{3ab} = (a+b) \frac{a^2 - ab + b^2}{3ab}

Zatim sređujemo izraz u drugoj zagradi (delilac), svodeći ga na zajednički imenilac:

1 + \frac{(a-b)^2}{ab} = \frac{ab + a^2 - 2ab + b^2}{ab} = \frac{a^2 - ab + b^2}{ab}

Proveravamo dodatni uslov definisanosti, jer delilac ne sme biti nula. Ovaj uslov je uvek ispunjen za realne brojeve kada su $a \neq 0$ i $b \neq 0 ,$ jer se izraz može zapisati kao zbir kvadrata $(a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4} > 0 .$

\frac{a^2 - ab + b^2}{ab} \neq 0 \implies a^2 - ab + b^2 \neq 0

Vraćamo sređene delove u početni izraz. Deljenje razlomkom zamenjujemo množenjem njegovom recipročnom vrednošću:

\left( (a+b) \frac{a^2 - ab + b^2}{3ab} \right) \cdot \frac{ab}{a^2 - ab + b^2}

Skraćujemo zajedničke činioce $ab$ i $a^2 - ab + b^2$ (što smemo da uradimo jer smo utvrdili da su različiti od nule) i dobijamo konačan rezultat:

\frac{a+b}{3}

Započni učenje

Online časovi

641.a

Beleške