4242.

641.a

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i odredi uslove pod kojima je definisan:

[(a+b)33ab−(a+b)]:(1+(a−b)2ab)\left[ \frac{(a+b)^3}{3ab} - (a+b) \right] : \left( 1 + \frac{(a-b)^2}{ab} \right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

3ab≠0  ⟹  a≠0∧b≠03ab \neq 0 \implies a \neq 0 \land b \neq 0

Sređujemo izraz u prvoj zagradi (deljenik). Izvlačimo zajednički činilac a+b a+b ispred zagrade:

(a+b)33ab−(a+b)=(a+b)[(a+b)23ab−1]\frac{(a+b)^3}{3ab} - (a+b) = (a+b) \left[ \frac{(a+b)^2}{3ab} - 1 \right]

Kvadriramo binom i svodimo izraz u srednjoj zagradi na zajednički imenilac:

(a+b)a2+2ab+b2−3ab3ab=(a+b)a2−ab+b23ab(a+b) \frac{a^2 + 2ab + b^2 - 3ab}{3ab} = (a+b) \frac{a^2 - ab + b^2}{3ab}

Zatim sređujemo izraz u drugoj zagradi (delilac), svodeći ga na zajednički imenilac:

1+(a−b)2ab=ab+a2−2ab+b2ab=a2−ab+b2ab1 + \frac{(a-b)^2}{ab} = \frac{ab + a^2 - 2ab + b^2}{ab} = \frac{a^2 - ab + b^2}{ab}

Proveravamo dodatni uslov definisanosti, jer delilac ne sme biti nula. Ovaj uslov je uvek ispunjen za realne brojeve kada su a≠0 a \neq 0 i b≠0, b \neq 0 , jer se izraz može zapisati kao zbir kvadrata (a−b2)2+3b24>0. (a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4} > 0 .

a2−ab+b2ab≠0  ⟹  a2−ab+b2≠0\frac{a^2 - ab + b^2}{ab} \neq 0 \implies a^2 - ab + b^2 \neq 0

Vraćamo sređene delove u početni izraz. Deljenje razlomkom zamenjujemo množenjem njegovom recipročnom vrednošću:

((a+b)a2−ab+b23ab)⋅aba2−ab+b2\left( (a+b) \frac{a^2 - ab + b^2}{3ab} \right) \cdot \frac{ab}{a^2 - ab + b^2}

Skraćujemo zajedničke činioce ab ab i a2−ab+b2 a^2 - ab + b^2 (što smemo da uradimo jer smo utvrdili da su različiti od nule) i dobijamo konačan rezultat:

a+b3\frac{a+b}{3}