4241.

640.a

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i navedi uslove definisanosti:

(3a+4b3a−4b+3a−4b3a+4b+48ab9a2−16b2)(1−8b3a+4b)\left( \frac{3a+4b}{3a-4b} + \frac{3a-4b}{3a+4b} + \frac{48ab}{9a^2-16b^2} \right) \left( 1 - \frac{8b}{3a+4b} \right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

3a−4b≠0i3a+4b≠0i9a2−16b2≠03a-4b \neq 0 \quad \text{i} \quad 3a+4b \neq 0 \quad \text{i} \quad 9a^2-16b^2 \neq 0

Pošto je 9a2−16b2=(3a−4b)(3a+4b), 9a^2-16b^2 = (3a-4b)(3a+4b) , uslovi se svode na to da 3a≠4b 3a \neq 4b i 3a≠−4b. 3a \neq -4b .

3a≠±4b3a \neq \pm 4b

Rastavljamo imenilac trećeg razlomka u prvoj zagradi na činioce koristeći razliku kvadrata.

9a2−16b2=(3a−4b)(3a+4b)9a^2-16b^2 = (3a-4b)(3a+4b)

Svodimo razlomke u prvoj zagradi na zajednički imenilac, koji je (3a−4b)(3a+4b). (3a-4b)(3a+4b) .

(3a+4b)2+(3a−4b)2+48ab(3a−4b)(3a+4b)\frac{(3a+4b)^2 + (3a-4b)^2 + 48ab}{(3a-4b)(3a+4b)}

Kvadriramo binome u brojiocu.

(9a2+24ab+16b2)+(9a2−24ab+16b2)+48ab(3a−4b)(3a+4b)\frac{(9a^2 + 24ab + 16b^2) + (9a^2 - 24ab + 16b^2) + 48ab}{(3a-4b)(3a+4b)}

Sređujemo brojilac sabiranjem sličnih monoma. Članovi 24ab 24ab i −24ab -24ab se potiru.

18a2+32b2+48ab(3a−4b)(3a+4b)\frac{18a^2 + 32b^2 + 48ab}{(3a-4b)(3a+4b)}

Izvlačimo zajednički činilac 2 2 ispred zagrade i prepoznajemo kvadrat binoma.

2(9a2+24ab+16b2)(3a−4b)(3a+4b)=2(3a+4b)2(3a−4b)(3a+4b)\frac{2(9a^2 + 24ab + 16b^2)}{(3a-4b)(3a+4b)} = \frac{2(3a+4b)^2}{(3a-4b)(3a+4b)}

Skraćujemo razlomak sa 3a+4b 3a+4b (što je dozvoljeno zbog uslova definisanosti).

2(3a+4b)3a−4b\frac{2(3a+4b)}{3a-4b}

Sada sređujemo izraz u drugoj zagradi svođenjem na zajednički imenilac.

1−8b3a+4b=3a+4b−8b3a+4b=3a−4b3a+4b1 - \frac{8b}{3a+4b} = \frac{3a+4b - 8b}{3a+4b} = \frac{3a-4b}{3a+4b}

Množimo dobijene rezultate iz prve i druge zagrade.

2(3a+4b)3a−4b⋅3a−4b3a+4b\frac{2(3a+4b)}{3a-4b} \cdot \frac{3a-4b}{3a+4b}

Skraćujemo unakrsno 3a−4b 3a-4b i 3a+4b 3a+4b i dobijamo konačan rezultat.

22