4240.

639.đ

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

8(a+1)8−a3−2aa2+2a+4+aa−2\frac{8(a+1)}{8-a^3} - \frac{2a}{a^2+2a+4} + \frac{a}{a-2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

8−a3≠0ia2+2a+4≠0ia−2≠08-a^3 \neq 0 \quad \text{i} \quad a^2+2a+4 \neq 0 \quad \text{i} \quad a-2 \neq 0

Kvadratni trinom a2+2a+4 a^2+2a+4 je uvek pozitivan za svako realno a a (diskriminanta je manja od nule). Iz preostalih uslova dobijamo domen izraza:

a≠2a \neq 2

Faktorišemo imenilac prvog razlomka koristeći formulu za razliku kubova:

8−a3=23−a3=(2−a)(4+2a+a2)=−(a−2)(a2+2a+4)8-a^3 = 2^3 - a^3 = (2-a)(4+2a+a^2) = -(a-2)(a^2+2a+4)

Zamenjujemo faktorisan imenilac u početni izraz i izvlačimo znak minus ispred prvog razlomka:

−8(a+1)(a−2)(a2+2a+4)−2aa2+2a+4+aa−2\frac{-8(a+1)}{(a-2)(a^2+2a+4)} - \frac{2a}{a^2+2a+4} + \frac{a}{a-2}

Nalazimo zajednički imenilac za sva tri razlomka, što je (a−2)(a2+2a+4), (a-2)(a^2+2a+4) , i proširujemo razlomke:

−8(a+1)−2a(a−2)+a(a2+2a+4)(a−2)(a2+2a+4)\frac{-8(a+1) - 2a(a-2) + a(a^2+2a+4)}{(a-2)(a^2+2a+4)}

Množimo i oslobađamo se zagrada u brojiocu:

−8a−8−2a2+4a+a3+2a2+4a(a−2)(a2+2a+4)\frac{-8a - 8 - 2a^2 + 4a + a^3 + 2a^2 + 4a}{(a-2)(a^2+2a+4)}

Grupišemo slične monome u brojiocu:

a3+(−2a2+2a2)+(−8a+4a+4a)−8(a−2)(a2+2a+4)\frac{a^3 + (-2a^2 + 2a^2) + (-8a + 4a + 4a) - 8}{(a-2)(a^2+2a+4)}

Nakon sabiranja sličnih monoma, brojilac postaje:

a3−8(a−2)(a2+2a+4)\frac{a^3 - 8}{(a-2)(a^2+2a+4)}

Primetimo da je imenilac zapravo raspisana razlika kubova a3−8: a^3 - 8 :

a3−8a3−8\frac{a^3 - 8}{a^3 - 8}

Skraćujemo brojilac i imenilac (što je dozvoljeno jer je prema uslovu definisanosti a≠2 a \neq 2 ) i dobijamo konačan rezultat:

11