Izraz sa 2x kroz (x na 2 + 2xy) i 4y kroz x na 2

Prvo ćemo faktorisati imenioce u izrazu kako bismo odredili uslove definisanosti.

\begin{aligned} x^2+2xy &= x(x+2y) \\ x^2-4y^2 &= (x-2y)(x+2y) \\ xy-2y^2 &= y(x-2y) \end{aligned}

Da bi izraz bio definisan, svi imenioci moraju biti različiti od nule. Objedinjavanjem uslova dobijamo:

\begin{aligned} x(x+2y) &\neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -2y \\ (x-2y)(x+2y) &\neq 0 \implies x \neq 2y, x \neq -2y \\ y(x-2y) &\neq 0 \implies y \neq 0, x \neq 2y \end{aligned}

Konačni uslovi definisanosti su:

x \neq 0, \quad y \neq 0, \quad x \neq 2y, \quad x \neq -2y

Sada prepisujemo početni izraz sa faktorisanim imeniocima.

\left( \frac{2x}{x(x+2y)} + \frac{4y}{(x-2y)(x+2y)} - \frac{y}{y(x-2y)} \right) : \left( 1 - \frac{x^2-4y^2-2}{x^2-4y^2} \right)

Skraćujemo razlomke u prvoj zagradi gde je to moguće, koristeći uslove $x \neq 0$ i $y \neq 0 .$

\left( \frac{2}{x+2y} + \frac{4y}{(x-2y)(x+2y)} - \frac{1}{x-2y} \right) : \left( 1 - \frac{x^2-4y^2-2}{x^2-4y^2} \right)

Svodićemo razlomke u prvoj zagradi na zajednički imenilac, koji je $(x-2y)(x+2y) .$

\frac{2(x-2y) + 4y - 1(x+2y)}{(x-2y)(x+2y)}

Sređujemo brojilac u prvoj zagradi.

\frac{2x - 4y + 4y - x - 2y}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{x - 2y}{(x-2y)(x+2y)}

Skraćujemo dobijeni razlomak sa $x-2y$ (što je dozvoljeno jer je $x \neq 2y$ ).

\frac{1}{x+2y}

Sada sređujemo drugu zagradu. Svodićemo izraz na zajednički imenilac $x^2-4y^2 .$

1 - \frac{x^2-4y^2-2}{x^2-4y^2} = \frac{x^2-4y^2 - (x^2-4y^2-2)}{x^2-4y^2}

Oslobađamo se zagrade u brojiocu i pojednostavljujemo izraz.

\frac{x^2-4y^2 - x^2 + 4y^2 + 2}{x^2-4y^2} = \frac{2}{x^2-4y^2} = \frac{2}{(x-2y)(x+2y)}

Vraćamo se na početni izraz koji sada predstavlja deljenje dva uprošćena razlomka. Deljenje razlomkom je ekvivalentno množenju njegovom recipročnom vrednošću.

\frac{1}{x+2y} : \frac{2}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{1}{x+2y} \cdot \frac{(x-2y)(x+2y)}{2}

Skraćujemo $x+2y$ u brojiocu i imeniocu i dobijamo konačan rezultat.

\frac{x-2y}{2}

Započni učenje

Online časovi

641.b

Beleške