4239.

641.b

TEKST ZADATKA

Uprosti dati algebarski izraz i odredi uslove pod kojima je definisan:

(2xx2+2xy+4yx2−4y2−yxy−2y2):(1−x2−4y2−2x2−4y2)\left( \frac{2x}{x^2+2xy} + \frac{4y}{x^2-4y^2} - \frac{y}{xy-2y^2} \right) : \left( 1 - \frac{x^2-4y^2-2}{x^2-4y^2} \right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo faktorisati imenioce u izrazu kako bismo odredili uslove definisanosti.

x2+2xy=x(x+2y)x2−4y2=(x−2y)(x+2y)xy−2y2=y(x−2y)\begin{aligned} x^2+2xy &= x(x+2y) \\ x^2-4y^2 &= (x-2y)(x+2y) \\ xy-2y^2 &= y(x-2y) \end{aligned}

Da bi izraz bio definisan, svi imenioci moraju biti različiti od nule. Objedinjavanjem uslova dobijamo:

x(x+2y)≠0  ⟹  x≠0,x≠−2y(x−2y)(x+2y)≠0  ⟹  x≠2y,x≠−2yy(x−2y)≠0  ⟹  y≠0,x≠2y\begin{aligned} x(x+2y) &\neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -2y \\ (x-2y)(x+2y) &\neq 0 \implies x \neq 2y, x \neq -2y \\ y(x-2y) &\neq 0 \implies y \neq 0, x \neq 2y \end{aligned}

Konačni uslovi definisanosti su:

x≠0,y≠0,x≠2y,x≠−2yx \neq 0, \quad y \neq 0, \quad x \neq 2y, \quad x \neq -2y

Sada prepisujemo početni izraz sa faktorisanim imeniocima.

(2xx(x+2y)+4y(x−2y)(x+2y)−yy(x−2y)):(1−x2−4y2−2x2−4y2)\left( \frac{2x}{x(x+2y)} + \frac{4y}{(x-2y)(x+2y)} - \frac{y}{y(x-2y)} \right) : \left( 1 - \frac{x^2-4y^2-2}{x^2-4y^2} \right)

Skraćujemo razlomke u prvoj zagradi gde je to moguće, koristeći uslove x≠0 x \neq 0 i y≠0. y \neq 0 .

(2x+2y+4y(x−2y)(x+2y)−1x−2y):(1−x2−4y2−2x2−4y2)\left( \frac{2}{x+2y} + \frac{4y}{(x-2y)(x+2y)} - \frac{1}{x-2y} \right) : \left( 1 - \frac{x^2-4y^2-2}{x^2-4y^2} \right)

Svodićemo razlomke u prvoj zagradi na zajednički imenilac, koji je (x−2y)(x+2y). (x-2y)(x+2y) .

2(x−2y)+4y−1(x+2y)(x−2y)(x+2y)\frac{2(x-2y) + 4y - 1(x+2y)}{(x-2y)(x+2y)}

Sređujemo brojilac u prvoj zagradi.

2x−4y+4y−x−2y(x−2y)(x+2y)=x−2y(x−2y)(x+2y)\frac{2x - 4y + 4y - x - 2y}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{x - 2y}{(x-2y)(x+2y)}

Skraćujemo dobijeni razlomak sa x−2y x-2y (što je dozvoljeno jer je x≠2y x \neq 2y ).

1x+2y\frac{1}{x+2y}

Sada sređujemo drugu zagradu. Svodićemo izraz na zajednički imenilac x2−4y2. x^2-4y^2 .

1−x2−4y2−2x2−4y2=x2−4y2−(x2−4y2−2)x2−4y21 - \frac{x^2-4y^2-2}{x^2-4y^2} = \frac{x^2-4y^2 - (x^2-4y^2-2)}{x^2-4y^2}

Oslobađamo se zagrade u brojiocu i pojednostavljujemo izraz.

x2−4y2−x2+4y2+2x2−4y2=2x2−4y2=2(x−2y)(x+2y)\frac{x^2-4y^2 - x^2 + 4y^2 + 2}{x^2-4y^2} = \frac{2}{x^2-4y^2} = \frac{2}{(x-2y)(x+2y)}

Vraćamo se na početni izraz koji sada predstavlja deljenje dva uprošćena razlomka. Deljenje razlomkom je ekvivalentno množenju njegovom recipročnom vrednošću.

1x+2y:2(x−2y)(x+2y)=1x+2y⋅(x−2y)(x+2y)2\frac{1}{x+2y} : \frac{2}{(x-2y)(x+2y)} = \frac{1}{x+2y} \cdot \frac{(x-2y)(x+2y)}{2}

Skraćujemo x+2y x+2y u brojiocu i imeniocu i dobijamo konačan rezultat.

x−2y2\frac{x-2y}{2}