4238.

639.g

TEKST ZADATKA

Uprostiti sledeći izraz:

b−aa2b−ab2+b3+a−2ba3+b3−1ab+b2\frac{b-a}{a^2b-ab^2+b^3} + \frac{a-2b}{a^3+b^3} - \frac{1}{ab+b^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli. Izraz a2−ab+b2 a^2-ab+b^2 je uvek pozitivan za a,b≠0, a, b \neq 0 , pa su uslovi:

b≠0,a+b≠0  ⟹  a≠−bb \neq 0, \quad a+b \neq 0 \implies a \neq -b

Rastavljamo imenioce svakog razlomka na činioce kako bismo našli najmanji zajednički sadržalac.

a2b−ab2+b3=b(a2−ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)ab+b2=b(a+b)\begin{aligned} a^2b-ab^2+b^3 &= b(a^2-ab+b^2) \\ a^3+b^3 &= (a+b)(a^2-ab+b^2) \\ ab+b^2 &= b(a+b) \end{aligned}

Zapisujemo početni izraz sa faktorisanim imeniocima.

b−ab(a2−ab+b2)+a−2b(a+b)(a2−ab+b2)−1b(a+b)\frac{b-a}{b(a^2-ab+b^2)} + \frac{a-2b}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} - \frac{1}{b(a+b)}

Određujemo najmanji zajednički sadržalac (NZS) za imenioce, koji iznosi b(a+b)(a2−ab+b2), b(a+b)(a^2-ab+b^2) , i proširujemo razlomke.

(b−a)(a+b)b(a+b)(a2−ab+b2)+b(a−2b)b(a+b)(a2−ab+b2)−a2−ab+b2b(a+b)(a2−ab+b2)\frac{(b-a)(a+b)}{b(a+b)(a^2-ab+b^2)} + \frac{b(a-2b)}{b(a+b)(a^2-ab+b^2)} - \frac{a^2-ab+b^2}{b(a+b)(a^2-ab+b^2)}

Zapisujemo sve pod jednom razlomačkom crtom.

(b−a)(a+b)+b(a−2b)−(a2−ab+b2)b(a+b)(a2−ab+b2)\frac{(b-a)(a+b) + b(a-2b) - (a^2-ab+b^2)}{b(a+b)(a^2-ab+b^2)}

Množimo i oslobađamo se zagrada u brojiocu.

b2−a2+ab−2b2−a2+ab−b2b(a+b)(a2−ab+b2)\frac{b^2-a^2 + ab-2b^2 - a^2+ab-b^2}{b(a+b)(a^2-ab+b^2)}

Sređujemo brojilac sabiranjem sličnih monoma.

−2a2+2ab−2b2b(a+b)(a2−ab+b2)\frac{-2a^2 + 2ab - 2b^2}{b(a+b)(a^2-ab+b^2)}

Izvlačimo zajednički činilac −2 -2 ispred zagrade u brojiocu.

−2(a2−ab+b2)b(a+b)(a2−ab+b2)\frac{-2(a^2-ab+b^2)}{b(a+b)(a^2-ab+b^2)}

Skraćujemo razlomak sa a2−ab+b2 a^2-ab+b^2 i dobijamo konačan rezultat.

−2b(a+b)\frac{-2}{b(a+b)}