4237. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

\frac{(x+2)^2}{x^3-8} - \frac{2}{x^2-4} + \frac{1}{x-2} + \frac{8}{(x^2-4)(x^2+2x+4)}

REŠENJE ZADATKA

Faktorišemo imenioce koristeći formule za razliku kubova i razliku kvadrata:

\begin{aligned} x^3-8 &= (x-2)(x^2+2x+4) \\ x^2-4 &= (x-2)(x+2) \end{aligned}

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli:

\begin{aligned} x-2 &\neq 0 \implies x \neq 2 \\ x+2 &\neq 0 \implies x \neq -2 \\ x^2+2x+4 &\neq 0 \quad (\text{uvek tačno za } x \in \mathbb{R}) \end{aligned}

Zapisujemo izraz sa faktorisanim imeniocima:

\frac{(x+2)^2}{(x-2)(x^2+2x+4)} - \frac{2}{(x-2)(x+2)} + \frac{1}{x-2} + \frac{8}{(x-2)(x+2)(x^2+2x+4)}

Nalazimo najmanji zajednički sadržalac (NZS) za imenioce, koji je $(x-2)(x+2)(x^2+2x+4) ,$ i svodimo razlomke na zajednički imenilac:

\frac{(x+2)^2 \cdot (x+2) - 2 \cdot (x^2+2x+4) + 1 \cdot (x+2)(x^2+2x+4) + 8}{(x-2)(x+2)(x^2+2x+4)}

Množimo i oslobađamo se zagrada u brojiocu:

\frac{(x^3+6x^2+12x+8) - (2x^2+4x+8) + (x^3+4x^2+8x+8) + 8}{(x-2)(x+2)(x^2+2x+4)}

Sređujemo brojilac sabiranjem sličnih monoma:

\frac{2x^3 + 8x^2 + 16x + 16}{(x-2)(x+2)(x^2+2x+4)}

Izvlačimo zajednički faktor $2$ u brojiocu:

\frac{2(x^3 + 4x^2 + 8x + 8)}{(x-2)(x+2)(x^2+2x+4)}

Faktorišemo polinom u zagradi metodom grupisanja članova:

\begin{aligned} x^3 + 4x^2 + 8x + 8 &= (x^3 + 8) + (4x^2 + 8x) \\ &= (x+2)(x^2-2x+4) + 4x(x+2) \\ &= (x+2)(x^2-2x+4+4x) \\ &= (x+2)(x^2+2x+4) \end{aligned}

Zamenjujemo faktorisani izraz nazad u brojilac:

\frac{2(x+2)(x^2+2x+4)}{(x-2)(x+2)(x^2+2x+4)}

Skraćujemo razlomak sa $(x+2)$ i $(x^2+2x+4) ,$ uzimajući u obzir uslove definisanosti:

\frac{2}{x-2}

639.d