4236. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i navedi uslove definisanosti: $\frac{a}{a+b} + \frac{a}{a-b} + \frac{2a^2}{a^2+b^2} + \frac{4a^2b^2}{a^4-b^4} .$

REŠENJE ZADATKA

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

\begin{aligned} a+b &\neq 0 \\ a-b &\neq 0 \\ a^2+b^2 &\neq 0 \\ a^4-b^4 &\neq 0 \end{aligned}

Iz ovoga sledi da mora važiti $a \neq b$ i $a \neq -b ,$ odnosno $a \neq \pm b$ (uz pretpostavku da su $a$ i $b$ realni brojevi, pa je uslov $a^2+b^2 \neq 0$ ispunjen za $a \neq \pm b$ ).

a \neq \pm b

Sabiramo prva dva razlomka tako što ih svodimo na zajednički imenilac $(a+b)(a-b) = a^2-b^2 .$

\frac{a}{a+b} + \frac{a}{a-b} = \frac{a(a-b) + a(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2 - ab + a^2 + ab}{a^2-b^2} = \frac{2a^2}{a^2-b^2}

Zamenjujemo dobijeni rezultat u početni izraz i sabiramo sa trećim razlomkom. Zajednički imenilac je $(a^2-b^2)(a^2+b^2) = a^4-b^4 .$

\frac{2a^2}{a^2-b^2} + \frac{2a^2}{a^2+b^2} = \frac{2a^2(a^2+b^2) + 2a^2(a^2-b^2)}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}

Sređujemo brojilac.

\frac{2a^4 + 2a^2b^2 + 2a^4 - 2a^2b^2}{a^4-b^4} = \frac{4a^4}{a^4-b^4}

Sada dodajemo i poslednji razlomak. Pošto već imaju isti imenilac, možemo ih direktno sabrati.

\frac{4a^4}{a^4-b^4} + \frac{4a^2b^2}{a^4-b^4} = \frac{4a^4 + 4a^2b^2}{a^4-b^4}

Faktorišemo brojilac izvlačenjem zajedničkog činioca $4a^2$ i imenilac kao razliku kvadrata, a zatim skraćujemo razlomak.

\frac{4a^2(a^2+b^2)}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)} = \frac{4a^2}{a^2-b^2}

Konačan rezultat nakon uprošćavanja izraza je:

\frac{4a^2}{a^2-b^2}

639.v