4236.

639.v

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i navedi uslove definisanosti: aa+b+aa−b+2a2a2+b2+4a2b2a4−b4. \frac{a}{a+b} + \frac{a}{a-b} + \frac{2a^2}{a^2+b^2} + \frac{4a^2b^2}{a^4-b^4} .

REŠENJE ZADATKA

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli.

a+b≠0a−b≠0a2+b2≠0a4−b4≠0\begin{aligned} a+b &\neq 0 \\ a-b &\neq 0 \\ a^2+b^2 &\neq 0 \\ a^4-b^4 &\neq 0 \end{aligned}

Iz ovoga sledi da mora važiti a≠b a \neq b i a≠−b, a \neq -b , odnosno a≠±b a \neq \pm b (uz pretpostavku da su a a i b b realni brojevi, pa je uslov a2+b2≠0 a^2+b^2 \neq 0 ispunjen za a≠±b a \neq \pm b ).

a≠±ba \neq \pm b

Sabiramo prva dva razlomka tako što ih svodimo na zajednički imenilac (a+b)(a−b)=a2−b2. (a+b)(a-b) = a^2-b^2 .

aa+b+aa−b=a(a−b)+a(a+b)(a+b)(a−b)=a2−ab+a2+aba2−b2=2a2a2−b2\frac{a}{a+b} + \frac{a}{a-b} = \frac{a(a-b) + a(a+b)}{(a+b)(a-b)} = \frac{a^2 - ab + a^2 + ab}{a^2-b^2} = \frac{2a^2}{a^2-b^2}

Zamenjujemo dobijeni rezultat u početni izraz i sabiramo sa trećim razlomkom. Zajednički imenilac je (a2−b2)(a2+b2)=a4−b4. (a^2-b^2)(a^2+b^2) = a^4-b^4 .

2a2a2−b2+2a2a2+b2=2a2(a2+b2)+2a2(a2−b2)(a2−b2)(a2+b2)\frac{2a^2}{a^2-b^2} + \frac{2a^2}{a^2+b^2} = \frac{2a^2(a^2+b^2) + 2a^2(a^2-b^2)}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}

Sređujemo brojilac.

2a4+2a2b2+2a4−2a2b2a4−b4=4a4a4−b4\frac{2a^4 + 2a^2b^2 + 2a^4 - 2a^2b^2}{a^4-b^4} = \frac{4a^4}{a^4-b^4}

Sada dodajemo i poslednji razlomak. Pošto već imaju isti imenilac, možemo ih direktno sabrati.

4a4a4−b4+4a2b2a4−b4=4a4+4a2b2a4−b4\frac{4a^4}{a^4-b^4} + \frac{4a^2b^2}{a^4-b^4} = \frac{4a^4 + 4a^2b^2}{a^4-b^4}

Faktorišemo brojilac izvlačenjem zajedničkog činioca 4a2 4a^2 i imenilac kao razliku kvadrata, a zatim skraćujemo razlomak.

4a2(a2+b2)(a2−b2)(a2+b2)=4a2a2−b2\frac{4a^2(a^2+b^2)}{(a^2-b^2)(a^2+b^2)} = \frac{4a^2}{a^2-b^2}

Konačan rezultat nakon uprošćavanja izraza je:

4a2a2−b2\frac{4a^2}{a^2-b^2}