4235.

641.g

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

(2x2+3x−2)[(11−x−1):(1−1−2x21−x)](2x^2+3x-2) \left[ \left( \frac{1}{1-x} - 1 \right) : \left( 1 - \frac{1-2x^2}{1-x} \right) \right]
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenilac ne sme biti jednak nuli:

1−x≠0  ⟹  x≠11-x \neq 0 \implies x \neq 1

Sređujemo izraz kojim delimo (drugu zagradu) kako bismo ga uprostili i našli preostale uslove definisanosti:

1−1−2x21−x=1−x−(1−2x2)1−x=2x2−x1−x=x(2x−1)1−x1 - \frac{1-2x^2}{1-x} = \frac{1-x - (1-2x^2)}{1-x} = \frac{2x^2-x}{1-x} = \frac{x(2x-1)}{1-x}

Pošto u srednjoj zagradi delimo ovim izrazom, on ne sme biti jednak nuli:

x(2x−1)1−x≠0  ⟹  x≠0i2x−1≠0  ⟹  x≠12\frac{x(2x-1)}{1-x} \neq 0 \implies x \neq 0 \quad \text{i} \quad 2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}

Sređujemo prvu zagradu unutar srednje zagrade:

11−x−1=1−(1−x)1−x=x1−x\frac{1}{1-x} - 1 = \frac{1 - (1-x)}{1-x} = \frac{x}{1-x}

Sada delimo dobijene izraze unutar srednje zagrade:

x1−x:x(2x−1)1−x=x1−x⋅1−xx(2x−1)\frac{x}{1-x} : \frac{x(2x-1)}{1-x} = \frac{x}{1-x} \cdot \frac{1-x}{x(2x-1)}

Skraćujemo razlomak (uzimajući u obzir uslove definisanosti x≠0 x \neq 0 i x≠1 x \neq 1 ):

x1−x⋅1−xx(2x−1)=12x−1\frac{x}{1-x} \cdot \frac{1-x}{x(2x-1)} = \frac{1}{2x-1}

Nalazimo korene kvadratnog trinoma 2x2+3x−2 2x^2+3x-2 kako bismo ga faktorisali:

x1,2=−3±32−4⋅2⋅(−2)2⋅2=−3±9+164=−3±54x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}

Koreni su x1=12 x_1 = \frac{1}{2} i x2=−2, x_2 = -2 , pa je faktorisan oblik:

2x2+3x−2=2(x−12)(x+2)=(2x−1)(x+2)2x^2+3x-2 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 2) = (2x-1)(x+2)

Množimo faktorisan kvadratni trinom sa rezultatom iz srednje zagrade:

(2x−1)(x+2)⋅12x−1(2x-1)(x+2) \cdot \frac{1}{2x-1}

Skraćujemo 2x−1 2x-1 (što je dozvoljeno jer je x≠12 x \neq \frac{1}{2} ) i dobijamo konačan rezultat:

x+2x+2