Proizvod trinoma 2x na 2 + 3x − 2 i uglastih zagrada

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenilac ne sme biti jednak nuli:

1-x \neq 0 \implies x \neq 1

Sređujemo izraz kojim delimo (drugu zagradu) kako bismo ga uprostili i našli preostale uslove definisanosti:

1 - \frac{1-2x^2}{1-x} = \frac{1-x - (1-2x^2)}{1-x} = \frac{2x^2-x}{1-x} = \frac{x(2x-1)}{1-x}

Pošto u srednjoj zagradi delimo ovim izrazom, on ne sme biti jednak nuli:

\frac{x(2x-1)}{1-x} \neq 0 \implies x \neq 0 \quad \text{i} \quad 2x-1 \neq 0 \implies x \neq \frac{1}{2}

Sređujemo prvu zagradu unutar srednje zagrade:

\frac{1}{1-x} - 1 = \frac{1 - (1-x)}{1-x} = \frac{x}{1-x}

Sada delimo dobijene izraze unutar srednje zagrade:

\frac{x}{1-x} : \frac{x(2x-1)}{1-x} = \frac{x}{1-x} \cdot \frac{1-x}{x(2x-1)}

Skraćujemo razlomak (uzimajući u obzir uslove definisanosti $x \neq 0$ i $x \neq 1$ ):

\frac{x}{1-x} \cdot \frac{1-x}{x(2x-1)} = \frac{1}{2x-1}

Nalazimo korene kvadratnog trinoma $2x^2+3x-2$ kako bismo ga faktorisali:

x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}

Koreni su $x_1 = \frac{1}{2}$ i $x_2 = -2 ,$ pa je faktorisan oblik:

2x^2+3x-2 = 2\left(x - \frac{1}{2}\right)(x + 2) = (2x-1)(x+2)

Množimo faktorisan kvadratni trinom sa rezultatom iz srednje zagrade:

(2x-1)(x+2) \cdot \frac{1}{2x-1}

Skraćujemo $2x-1$ (što je dozvoljeno jer je $x \neq \frac{1}{2}$ ) i dobijamo konačan rezultat:

x+2

641.g