Izraz sa x − 1, x na 2 − 1 i 1 − x na 3

Faktorišemo imenioce kako bismo odredili uslove definisanosti i našli zajednički imenilac. Koristimo razliku kvadrata i razliku kubova.

\begin{aligned} x^2-1 &= (x-1)(x+1) \\ 1-x^3 &= -(x^3-1) = -(x-1)(x^2+x+1) \end{aligned}

Određujemo uslove definisanosti. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli. Kvadratni trinom $x^2+x+1$ nema realne nule jer je njegova diskriminanta manja od nule ( $\Delta = -3$ ).

\begin{aligned} x-1 &\neq 0 \implies x \neq 1 \\ x+1 &\neq 0 \implies x \neq -1 \end{aligned}

Zapisujemo početni izraz koristeći faktorisane imenioce. Znak minus ispred trećeg razlomka i minus iz imenioca daju plus.

\frac{1}{x-1} + \frac{2x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{3x^2+5x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}

Prvo sabiramo prva dva razlomka radi lakšeg računanja. Zajednički imenilac za njih je $(x-1)(x+1) .$

\frac{1 \cdot (x+1) + (2x+1)}{(x-1)(x+1)} + \frac{3x^2+5x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}

Sređujemo brojilac prvog razlomka.

\frac{x+1+2x+1}{(x-1)(x+1)} + \frac{3x^2+5x-1}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{3x+2}{(x-1)(x+1)} + \frac{3x^2+5x-1}{(x-1)(x^2+x+1)}

Sada tražimo najmanji zajednički sadržalac za preostala dva razlomka. To je $(x-1)(x+1)(x^2+x+1) .$

\frac{(3x+2)(x^2+x+1) + (3x^2+5x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}

Množimo polinome u brojiocu.

\frac{(3x^3+3x^2+3x+2x^2+2x+2) + (3x^3+3x^2+5x^2+5x-x-1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}

Grupišemo slične monome unutar zagrada.

\frac{(3x^3+5x^2+5x+2) + (3x^3+8x^2+4x-1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}

Sabiramo sve članove kako bismo dobili konačan izraz. Uslovi definisanosti su $x \neq 1$ i $x \neq -1 .$

\frac{6x^3 + 13x^2 + 9x + 1}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}

Započni učenje

Online časovi

639.a

Beleške