4183.

630.b

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni algebarski izraz i odrediti uslove definisanosti:

1+3x2x2+3x−2−2x−13x2+7x+2\frac{1+3x}{2x^2+3x-2} - \frac{2x-1}{3x^2+7x+2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo vršimo faktorizaciju kvadratnih trinoma u imeniocima razlomaka.

2x2+3x−2=2(x+2)(x−12)=(x+2)(2x−1)3x2+7x+2=3(x+2)(x+13)=(x+2)(3x+1)2x^2+3x-2 = 2(x+2)(x-\frac{1}{2}) = (x+2)(2x-1) \\ 3x^2+7x+2 = 3(x+2)(x+\frac{1}{3}) = (x+2)(3x+1)

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti nula.

(x+2)(2x−1)≠0  ⟹  x≠−2,x≠12(x+2)(3x+1)≠0  ⟹  x≠−2,x≠−13(x+2)(2x-1) \neq 0 \implies x \neq -2, x \neq \frac{1}{2} \\ (x+2)(3x+1) \neq 0 \implies x \neq -2, x \neq -\frac{1}{3}

Zapisujemo uslove definisanosti:

x∈R∖{−2,−13,12}x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, -\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\}

Zamenjujemo faktorisane oblike u početni izraz:

1+3x(x+2)(2x−1)−2x−1(x+2)(3x+1)\frac{1+3x}{(x+2)(2x-1)} - \frac{2x-1}{(x+2)(3x+1)}

Svodimo razlomke na najmanji zajednički imenilac, koji je (x+2)(2x−1)(3x+1): (x+2)(2x-1)(3x+1) :

(1+3x)(3x+1)−(2x−1)(2x−1)(x+2)(2x−1)(3x+1)\frac{(1+3x)(3x+1) - (2x-1)(2x-1)}{(x+2)(2x-1)(3x+1)}

Sređujemo brojilac množenjem zagrada i kvadriranjem binoma:

(9x2+6x+1)−(4x2−4x+1)(x+2)(2x−1)(3x+1)\frac{(9x^2 + 6x + 1) - (4x^2 - 4x + 1)}{(x+2)(2x-1)(3x+1)}

Oslobađamo se zagrada u brojiocu i sabiramo slične članove:

9x2+6x+1−4x2+4x−1(x+2)(2x−1)(3x+1)=5x2+10x(x+2)(2x−1)(3x+1)\frac{9x^2 + 6x + 1 - 4x^2 + 4x - 1}{(x+2)(2x-1)(3x+1)} = \frac{5x^2 + 10x}{(x+2)(2x-1)(3x+1)}

Faktorišemo brojilac izvlačenjem zajedničkog člana 5x: 5x :

5x(x+2)(x+2)(2x−1)(3x+1)\frac{5x(x+2)}{(x+2)(2x-1)(3x+1)}

Skraćujemo izraz sa (x+2), (x+2) , uzimajući u obzir prethodno definisane uslove:

5x(2x−1)(3x+1)\frac{5x}{(2x-1)(3x+1)}