4182.

628.đ

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni algebarski izraz i odrediti uslove pod kojima je definisan:

\frac{3a-1}{9-a^2} + rac{5a}{a^2-6a+9}
REŠENJE ZADATKA

Prvo rastavljamo imenioce na činioce kako bismo odredili uslove definisanosti i najmanji zajednički sadržalac. Koristimo razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b) a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) i kvadrat binoma (a−b)2=a2−2ab+b2. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 .

9−a2=(3−a)(3+a)a2−6a+9=(a−3)29 - a^2 = (3-a)(3+a) \\ a^2 - 6a + 9 = (a-3)^2

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

3−a≠0  ⟹  a≠33+a≠0  ⟹  a≠−3(a−3)2≠0  ⟹  a≠33-a \neq 0 \implies a \neq 3 \\ 3+a \neq 0 \implies a \neq -3 \\ (a-3)^2 \neq 0 \implies a \neq 3

Sređujemo znake u imeniocima kako bismo lakše pronašli zajednički imenilac. Primetimo da je 3−a=−(a−3) 3-a = -(a-3) i (a−3)2=(3−a)2. (a-3)^2 = (3-a)^2 . Zapisaćemo sve preko a−3. a-3 .

3a−1−(a−3)(a+3)+5a(a−3)2=−3a−1(a−3)(a+3)+5a(a−3)2\frac{3a-1}{-(a-3)(a+3)} + \frac{5a}{(a-3)^2} = -\frac{3a-1}{(a-3)(a+3)} + \frac{5a}{(a-3)^2}

Najmanji zajednički sadržalac za imenioce je (a−3)2(a+3). (a-3)^2(a+3) . Proširujemo razlomke.

−(3a−1)(a−3)+5a(a+3)(a−3)2(a+3)\frac{-(3a-1)(a-3) + 5a(a+3)}{(a-3)^2(a+3)}

Množimo izreze u brojocu i vršimo grupisanje sličnih članova.

−(3a2−9a−a+3)+5a2+15a(a−3)2(a+3)=−3a2+10a−3+5a2+15a(a−3)2(a+3)\frac{-(3a^2 - 9a - a + 3) + 5a^2 + 15a}{(a-3)^2(a+3)} = \frac{-3a^2 + 10a - 3 + 5a^2 + 15a}{(a-3)^2(a+3)}

Sređujemo brojilac do kraja.

2a2+25a−3(a−3)2(a+3)\frac{2a^2 + 25a - 3}{(a-3)^2(a+3)}

Konačan rezultat uz navedene uslove.

2a2+25a−3(a−3)2(a+3),a∈R∖{−3,3}\frac{2a^2 + 25a - 3}{(a-3)^2(a+3)}, \quad a \in \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}