4181. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni algebarski izraz:

\frac{16x-x^2}{x^2-4} + rac{3+2x}{2-x} - rac{2-3x}{x+2}

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenitelji ne smeju biti nula. Kako je $x^2-4 = (x-2)(x+2) ,$ uslovi su:

x-2 \neq 0 \implies x \neq 2 \\ x+2 \neq 0 \implies x \neq -2

Sređujemo imenitelje tako da dobijemo zajednički sadržalac. Primetimo da je $2-x = -(x-2) ,$ pa menjamo znak ispred drugog razlomka:

\frac{16x-x^2}{(x-2)(x+2)} - \frac{3+2x}{x-2} - \frac{2-3x}{x+2}

Svodimo sve razlomke na zajednički imenitelj $(x-2)(x+2) :$

\frac{16x-x^2 - (3+2x)(x+2) - (2-3x)(x-2)}{(x-2)(x+2)}

Množimo binome u brojocu, pazeći na znakove ispred zagrada:

\frac{16x-x^2 - (3x+6+2x^2+4x) - (2x-4-3x^2+6x)}{(x-2)(x+2)}

Sređujemo izraze unutar zagrada:

\frac{16x-x^2 - (2x^2+7x+6) - (-3x^2+8x-4)}{(x-2)(x+2)}

Oslobađamo se zagrada i menjamo znakove članovima unutar njih:

\frac{16x-x^2 - 2x^2-7x-6 + 3x^2-8x+4}{(x-2)(x+2)}

Sabiramo slične članove u brojocu: $-x^2-2x^2+3x^2 = 0 ,$ $16x-7x-8x = x$ i $-6+4 = -2 :$

\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}

Skraćujemo izraz sa $x-2 ,$ uz prethodno naveden uslov $x \neq 2 :$

\frac{1}{x+2}

627.đ