4180.

629.b

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni algebarski izraz:

10a−1812a2−27−12a+3+418a−27−59a\frac{10a-18}{12a^2-27} - \frac{1}{2a+3} + \frac{4}{18a-27} - \frac{5}{9a}
REŠENJE ZADATKA

Prvo rastavljamo imenioce na činioce kako bismo odredili uslove definisanosti i najmanji zajednički sadržalac.

12a2−27=3(4a2−9)=3(2a−3)(2a+3)18a−27=9(2a−3)9a=9a12a^2 - 27 = 3(4a^2 - 9) = 3(2a-3)(2a+3) \\ 18a - 27 = 9(2a-3) \\ 9a = 9a

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

a≠0,2a−3≠0⇒a≠32,2a+3≠0⇒a≠−32a \neq 0, \quad 2a-3 \neq 0 \Rightarrow a \neq \frac{3}{2}, \quad 2a+3 \neq 0 \Rightarrow a \neq -\frac{3}{2}

Zamenjujemo rastavljene imenioce u početni izraz i skraćujemo prvi razlomak ako je moguće.

2(5a−9)3(2a−3)(2a+3)−12a+3+49(2a−3)−59a\frac{2(5a-9)}{3(2a-3)(2a+3)} - \frac{1}{2a+3} + \frac{4}{9(2a-3)} - \frac{5}{9a}

Najmanji zajednički sadržalac (NZS) za imenioce je 9a(2a−3)(2a+3). 9a(2a-3)(2a+3) . Proširujemo razlomke.

3a⋅2(5a−9)−9a(2a−3)+a⋅4(2a+3)−5(4a2−9)9a(2a−3)(2a+3)\frac{3a \cdot 2(5a-9) - 9a(2a-3) + a \cdot 4(2a+3) - 5(4a^2-9)}{9a(2a-3)(2a+3)}

Sređujemo brojilac množenjem i sabiranjem sličnih članova.

30a2−54a−18a2+27a+8a2+12a−20a2+459a(4a2−9)\frac{30a^2 - 54a - 18a^2 + 27a + 8a^2 + 12a - 20a^2 + 45}{9a(4a^2-9)}

Grupisanjem članova u brojiocu dobijamo:

(30−18+8−20)a2+(−54+27+12)a+459a(4a2−9)=0a2−15a+459a(4a2−9)\frac{(30-18+8-20)a^2 + (-54+27+12)a + 45}{9a(4a^2-9)} = \frac{0a^2 - 15a + 45}{9a(4a^2-9)}

Izvlačimo zajednički faktor u brojiocu i skraćujemo izraz.

−15(a−3)9a(2a−3)(2a+3)=−5(a−3)3a(4a2−9)\frac{-15(a-3)}{9a(2a-3)(2a+3)} = \frac{-5(a-3)}{3a(4a^2-9)}

Konačan rezultat uz navedene uslove:

15−5a3a(4a2−9),a∈R∖{0,±32}\frac{15-5a}{3a(4a^2-9)}, \quad a \in \mathbb{R} \setminus \{0, \pm \frac{3}{2}\}