Zbir razlomaka sa 4x na 2 − 8xy uz uslove

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenilac svakog razlomka mora biti različit od nule.

x \neq 0 \quad \text{i} \quad x^4 - 2x^3y \neq 0

Analiziramo drugi uslov izvlačenjem zajedničkog faktora ispred zagrade:

x^3(x - 2y) \neq 0 \implies x \neq 0 \quad \text{i} \quad x \neq 2y

Dakle, uslovi definisanosti su:

x \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \quad x \neq 2y

Sada pristupamo uprošćavanju svakog razlomka posebno. U prvom razlomku izvlačimo $4x$ u brojitelju:

\frac{4x(x-2y)}{x} = 4(x-2y) = 4x - 8y

U drugom razlomku izvlačimo $2x^2$ u brojitelju i $x^3$ u imeniocu:

\frac{2x^2(x^2-4xy+4y^2)}{x^3(x-2y)}

Prepoznajemo kvadrat binoma $(x-2y)^2$ u brojitelju i skraćujemo izraz:

\frac{2x^2(x-2y)^2}{x^3(x-2y)} = \frac{2(x-2y)}{x} = \frac{2x-4y}{x}

Sada spajamo sve delove izraza:

(4x - 8y) + \frac{2x-4y}{x} - \frac{1-x}{2}

Dovodimo sve na zajednički imenilac $2x :$

\frac{2x(4x-8y) + 2(2x-4y) - x(1-x)}{2x}

Sređujemo brojitelj množenjem i sabiranjem sličnih članova:

\frac{8x^2 - 16xy + 4x - 8y - x + x^2}{2x} = \frac{9x^2 - 16xy + 3x - 8y}{2x}

Konačan oblik uprošćenog izraza uz navedene uslove je:

\frac{9x^2 - 16xy + 3x - 8y}{2x}, \quad x \neq 0, x \neq 2y

629.đ