4179.

629.đ

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni algebarski izraz i odrediti uslove definisanosti:

\frac{4x^2-8xy}{x} + rac{2x^4-8x^3y+8x^2y^2}{x^4-2x^3y} - rac{1-x}{2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenilac svakog razlomka mora biti različit od nule.

x≠0ix4−2x3y≠0x \neq 0 \quad \text{i} \quad x^4 - 2x^3y \neq 0

Analiziramo drugi uslov izvlačenjem zajedničkog faktora ispred zagrade:

x3(x−2y)≠0  ⟹  x≠0ix≠2yx^3(x - 2y) \neq 0 \implies x \neq 0 \quad \text{i} \quad x \neq 2y

Dakle, uslovi definisanosti su:

x∈R∖{0},x≠2yx \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \quad x \neq 2y

Sada pristupamo uprošćavanju svakog razlomka posebno. U prvom razlomku izvlačimo 4x 4x u brojitelju:

4x(x−2y)x=4(x−2y)=4x−8y\frac{4x(x-2y)}{x} = 4(x-2y) = 4x - 8y

U drugom razlomku izvlačimo 2x2 2x^2 u brojitelju i x3 x^3 u imeniocu:

2x2(x2−4xy+4y2)x3(x−2y)\frac{2x^2(x^2-4xy+4y^2)}{x^3(x-2y)}

Prepoznajemo kvadrat binoma (x−2y)2 (x-2y)^2 u brojitelju i skraćujemo izraz:

2x2(x−2y)2x3(x−2y)=2(x−2y)x=2x−4yx\frac{2x^2(x-2y)^2}{x^3(x-2y)} = \frac{2(x-2y)}{x} = \frac{2x-4y}{x}

Sada spajamo sve delove izraza:

(4x−8y)+2x−4yx−1−x2(4x - 8y) + \frac{2x-4y}{x} - \frac{1-x}{2}

Dovodimo sve na zajednički imenilac 2x: 2x :

2x(4x−8y)+2(2x−4y)−x(1−x)2x\frac{2x(4x-8y) + 2(2x-4y) - x(1-x)}{2x}

Sređujemo brojitelj množenjem i sabiranjem sličnih članova:

8x2−16xy+4x−8y−x+x22x=9x2−16xy+3x−8y2x\frac{8x^2 - 16xy + 4x - 8y - x + x^2}{2x} = \frac{9x^2 - 16xy + 3x - 8y}{2x}

Konačan oblik uprošćenog izraza uz navedene uslove je:

9x2−16xy+3x−8y2x,x≠0,x≠2y\frac{9x^2 - 16xy + 3x - 8y}{2x}, \quad x \neq 0, x \neq 2y