4178.

628.v

TEKST ZADATKA

Uprostiti dati racionalni izraz i odrediti uslove definisanosti:

\frac{x^2}{(x-3)^2} + rac{3x}{x-3} + 2
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslov definisanosti izraza. Pošto se u imeniocima pojavljuje izraz x−3, x-3 , on mora biti različit od nule.

x−3≠0  ⟹  x≠3x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3

Domen izraza je skup svih realnih brojeva osim broja 3.

D=R∖{3}D = \mathbb{R} \setminus \{3\}

Da bismo sabrali razlomke, nalazimo najmanji zajednički sadržalac (NZS) za imenioce (x−3)2 (x-3)^2 i x−3. x-3 . NZS je (x−3)2. (x-3)^2 . Proširujemo drugi i treći član.

x2(x−3)2+3x(x−3)(x−3)2+2(x−3)2(x−3)2\frac{x^2}{(x-3)^2} + \frac{3x(x-3)}{(x-3)^2} + \frac{2(x-3)^2}{(x-3)^2}

Sada sve članove pišemo pod zajedničku razlomačku crtu i sređujemo brojilac.

x2+3x(x−3)+2(x−3)2(x−3)2\frac{x^2 + 3x(x-3) + 2(x-3)^2}{(x-3)^2}

Kvadriramo binom i množimo zagrade u brojiocu.

x2+3x2−9x+2(x2−6x+9)(x−3)2\frac{x^2 + 3x^2 - 9x + 2(x^2 - 6x + 9)}{(x-3)^2}

Oslobađamo se preostale zagrade množenjem sa 2.

x2+3x2−9x+2x2−12x+18(x−3)2\frac{x^2 + 3x^2 - 9x + 2x^2 - 12x + 18}{(x-3)^2}

Sabiramo slične članove u brojiocu: x2+3x2+2x2=6x2 x^2 + 3x^2 + 2x^2 = 6x^2 i −9x−12x=−21x. -9x - 12x = -21x .

6x2−21x+18(x−3)2\frac{6x^2 - 21x + 18}{(x-3)^2}

U brojiocu možemo izvući zajednički faktor 3.

3(2x2−7x+6)(x−3)2\frac{3(2x^2 - 7x + 6)}{(x-3)^2}

Rastavljamo kvadratni trinom 2x2−7x+6 2x^2 - 7x + 6 na činioce. Rešenja jednačine 2x2−7x+6=0 2x^2 - 7x + 6 = 0 su x1=2 x_1 = 2 i x2=32. x_2 = \frac{3}{2} .

2x2−7x+6=2(x−2)(x−32)=(x−2)(2x−3)2x^2 - 7x + 6 = 2(x - 2)(x - \frac{3}{2}) = (x - 2)(2x - 3)

Konačan uprošćen oblik izraza je:

3(x−2)(2x−3)(x−3)2\frac{3(x - 2)(2x - 3)}{(x - 3)^2}