4177. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni algebarski izraz i odrediti uslove pod kojima je definisan:

\frac{8x^2+18y^2}{9y^2-4x^2} - rac{3y+2x}{3y-2x} - rac{2x-3y}{2x+3y}

REŠENJE ZADATKA

Prvo analiziramo imenioce kako bismo odredili uslove definisanosti. Primetimo da je $9y^2-4x^2$ razlika kvadrata.

9y^2 - 4x^2 = (3y - 2x)(3y + 2x)

Izraz je definisan ako su svi imenioci različiti od nule:

3y - 2x \neq 0 \implies 3y \neq 2x \\ 3y + 2x \neq 0 \implies 3y \neq -2x

Sređujemo treći razlomak u izrazu kako bismo imali isti redosled članova u imeniocu kao u ostalim delovima izraza. Koristimo osobinu $2x+3y = 3y+2x .$

\frac{8x^2+18y^2}{(3y-2x)(3y+2x)} - \frac{3y+2x}{3y-2x} - \frac{2x-3y}{3y+2x}

Svodimo sve razlomke na najmanji zajednički imenilac, što je $(3y-2x)(3y+2x) .$

\frac{8x^2+18y^2 - (3y+2x)(3y+2x) - (2x-3y)(3y-2x)}{(3y-2x)(3y+2x)}

Kvadriramo binom $(3y+2x)^2$ i množimo preostale zagrade u brojocu. Obratite pažnju na znak minus ispred zagrada.

\frac{8x^2+18y^2 - (9y^2 + 12xy + 4x^2) - (6xy - 4x^2 - 9y^2 + 6xy)}{(3y-2x)(3y+2x)}

Oslobađamo se zagrada menjajući znake tamo gde je ispred zagrade minus i grupišemo slične članove.

\frac{8x^2 + 18y^2 - 9y^2 - 12xy - 4x^2 - 12xy + 4x^2 + 9y^2}{(3y-2x)(3y+2x)}

Sabiramo i oduzimamo članove u brojocu:

\frac{(8x^2 - 4x^2 + 4x^2) + (18y^2 - 9y^2 + 9y^2) + (-12xy - 12xy)}{(3y-2x)(3y+2x)} = \frac{8x^2 + 18y^2 - 24xy}{(3y-2x)(3y+2x)}

Izvlačimo zajednički faktor 2 iz brojoca i prepoznajemo kvadrat binoma:

\frac{2(4x^2 - 12xy + 9y^2)}{(3y-2x)(3y+2x)} = \frac{2(2x-3y)^2}{(3y-2x)(3y+2x)}

Pošto je $(2x-3y)^2 = (3y-2x)^2 ,$ možemo skratiti jedan faktor sa imeniocem.

\frac{2(3y-2x)^2}{(3y-2x)(3y+2x)} = \frac{2(3y-2x)}{3y+2x}

Konačan rezultat uz navedene uslove je:

\frac{6y-4x}{3y+2x}, \quad 3y \neq \pm 2x

629.g