4189.

627.e

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni algebarski izraz i odrediti uslove pod kojima je on definisan:

\frac{x^2-x-6}{x^2-4} - rac{x-1}{2-x} - 2
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenitelji ne smeju biti nula. Rastavljamo imenitelje na činioce.

x2−4=(x−2)(x+2)≠0  ⟹  x≠2,x≠−22−x≠0  ⟹  x≠2x^2 - 4 = (x-2)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 2, x \neq -2 \\ 2-x \neq 0 \implies x \neq 2

Uslov definisanosti izraza je:

x∈R∖{−2,2}x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}

Rastavljamo brojilac prvog razlomka x2−x−6 x^2-x-6 na činioce i sređujemo znak drugog razlomka kako bismo imali zajednički imenitelj.

x2−x−6=x2−3x+2x−6=x(x−3)+2(x−3)=(x−3)(x+2)x−12−x=−x−1x−2x^2-x-6 = x^2-3x+2x-6 = x(x-3)+2(x-3) = (x-3)(x+2) \\ \frac{x-1}{2-x} = -\frac{x-1}{x-2}

Zamenjujemo dobijene izraze u početni izraz:

(x−3)(x+2)(x−2)(x+2)−(−x−1x−2)−2\frac{(x-3)(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \left( -\frac{x-1}{x-2} \right) - 2

Skraćujemo prvi razlomak sa x+2 x+2 (uz uslov x≠−2 x \neq -2 ) i sređujemo znake:

x−3x−2+x−1x−2−2\frac{x-3}{x-2} + \frac{x-1}{x-2} - 2

Sabiramo razlomke sa istim imeniteljem i svodimo ceo broj na zajednički imenitelj:

(x−3)+(x−1)−2(x−2)x−2\frac{(x-3) + (x-1) - 2(x-2)}{x-2}

Sređujemo brojilac:

x−3+x−1−2x+4x−2=2x−4−2x+4x−2=0x−2\frac{x-3+x-1-2x+4}{x-2} = \frac{2x-4-2x+4}{x-2} = \frac{0}{x-2}

Konačan rezultat je nula, uz navedene uslove.

0,x≠±20, \quad x \neq \pm 2