4231.

638.g

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i odredi uslove definisanosti:

3−1ab1a+3b\frac{3-\frac{1}{ab}}{\frac{1}{a}+\frac{3}{b}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Svi imenioci u izrazu moraju biti različiti od nule. Iz imenilaca ab, ab , a a i b b dobijamo prve uslove:

a≠0ib≠0a \neq 0 \quad \text{i} \quad b \neq 0

Takođe, glavni imenilac celog razlomka ne sme biti jednak nuli:

1a+3b≠0\frac{1}{a} + \frac{3}{b} \neq 0

Sređivanjem ovog uslova dobijamo još jedno ograničenje:

b+3aab≠0  ⟹  b+3a≠0  ⟹  b≠−3a\frac{b + 3a}{ab} \neq 0 \implies b + 3a \neq 0 \implies b \neq -3a

Sada prelazimo na uprošćavanje izraza. Svodićemo brojilac i imenilac glavnog razlomka na zajedničke imenioce. Za brojilac imamo:

3−1ab=3abab−1ab=3ab−1ab3 - \frac{1}{ab} = \frac{3ab}{ab} - \frac{1}{ab} = \frac{3ab - 1}{ab}

Za imenilac glavnog razlomka imamo:

1a+3b=bab+3aab=b+3aab\frac{1}{a} + \frac{3}{b} = \frac{b}{ab} + \frac{3a}{ab} = \frac{b + 3a}{ab}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u početni dvojni razlomak:

3ab−1abb+3aab\frac{\frac{3ab - 1}{ab}}{\frac{b + 3a}{ab}}

Rešavamo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova:

(3ab−1)⋅abab⋅(b+3a)\frac{(3ab - 1) \cdot ab}{ab \cdot (b + 3a)}

Skraćujemo zajednički činilac ab ab (što smemo da uradimo jer smo utvrdili da je a≠0 a \neq 0 i b≠0 b \neq 0 ) i dobijamo konačan rezultat:

3ab−13a+b\frac{3ab - 1}{3a + b}