4230.

638.v

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i odredi uslove definisanosti:

b−1ba+1b\frac{b-\frac{1}{b}}{a+\frac{1}{b}}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenilac manjih razlomaka ne sme biti jednak nuli.

b≠0b \neq 0

Takođe, imenilac glavnog razlomka ne sme biti jednak nuli.

a+1b≠0a + \frac{1}{b} \neq 0

Sređujemo uslov za glavni imenilac svodeći ga na zajednički imenilac (pošto smo već utvrdili da je b≠0 b \neq 0 ).

ab+1b≠0  ⟹  ab+1≠0  ⟹  ab≠−1\frac{ab + 1}{b} \neq 0 \implies ab + 1 \neq 0 \implies ab \neq -1

Sada prelazimo na uprošćavanje izraza. Svodimo izraz u brojiocu na zajednički imenilac.

b−1b=b2b−1b=b2−1bb - \frac{1}{b} = \frac{b^2}{b} - \frac{1}{b} = \frac{b^2 - 1}{b}

Zatim svodimo izraz u imeniocu na zajednički imenilac.

a+1b=abb+1b=ab+1ba + \frac{1}{b} = \frac{ab}{b} + \frac{1}{b} = \frac{ab + 1}{b}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u početni dvojni razlomak.

b2−1bab+1b\frac{\frac{b^2 - 1}{b}}{\frac{ab + 1}{b}}

Rešavamo dvojni razlomak množenjem spoljašnjih i unutrašnjih članova. Kako je b≠0, b \neq 0 , možemo skratiti b b u brojiocu i imeniocu.

(b2−1)⋅b(ab+1)⋅b=b2−1ab+1\frac{(b^2 - 1) \cdot b}{(ab + 1) \cdot b} = \frac{b^2 - 1}{ab + 1}

Konačan rezultat uz navedene uslove definisanosti.

b2−1ab+1,b≠0,ab≠−1\frac{b^2 - 1}{ab + 1}, \quad b \neq 0, \quad ab \neq -1