4243.

639.b

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći algebarski izraz:

4a28a3−1−12a−1−2a4a2+2a+1\frac{4a^2}{8a^3-1} - \frac{1}{2a-1} - \frac{2a}{4a^2+2a+1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo faktorisati imenilac prvog razlomka koristeći formulu za razliku kubova: A3−B3=(A−B)(A2+AB+B2). A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2) .

8a3−1=(2a)3−13=(2a−1)(4a2+2a+1)8a^3 - 1 = (2a)^3 - 1^3 = (2a - 1)(4a^2 + 2a + 1)

Određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli. Kvadratni trinom 4a2+2a+1 4a^2+2a+1 je uvek veći od nule (jer je diskriminanta negativna), pa je jedini uslov:

2a−1≠0  ⟹  a≠122a - 1 \neq 0 \implies a \neq \frac{1}{2}

Zamenjujemo faktorisani imenilac u početni izraz.

4a2(2a−1)(4a2+2a+1)−12a−1−2a4a2+2a+1\frac{4a^2}{(2a-1)(4a^2+2a+1)} - \frac{1}{2a-1} - \frac{2a}{4a^2+2a+1}

Najmanji zajednički sadržalac (NZS) za imenioce je (2a−1)(4a2+2a+1). (2a-1)(4a^2+2a+1) . Proširujemo drugi i treći razlomak kako bismo ih sveli na zajednički imenilac.

4a2−1⋅(4a2+2a+1)−2a⋅(2a−1)(2a−1)(4a2+2a+1)\frac{4a^2 - 1 \cdot (4a^2+2a+1) - 2a \cdot (2a-1)}{(2a-1)(4a^2+2a+1)}

Množimo izraze u brojiocu i oslobađamo se zagrada.

4a2−4a2−2a−1−4a2+2a(2a−1)(4a2+2a+1)\frac{4a^2 - 4a^2 - 2a - 1 - 4a^2 + 2a}{(2a-1)(4a^2+2a+1)}

Grupišemo slične monome u brojiocu i računamo njihov zbir.

−4a2−1(2a−1)(4a2+2a+1)\frac{-4a^2 - 1}{(2a-1)(4a^2+2a+1)}

Izvlačimo znak minus ispred razlomka i zapisujemo imenilac u početnom obliku razlike kubova.

−4a2+18a3−1-\frac{4a^2+1}{8a^3-1}