4244. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i odredi uslove pod kojima je definisan:

\left( \frac{x+3y}{x-3y} + \frac{3x+y}{3x-y} \right) \left( 3 + \frac{2y}{x-y} \right) \left( 1 - \frac{4y}{x+y} \right)

REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Da bi razlomci bili definisani, svi imenioci moraju biti različiti od nule:

x-3y \neq 0, \quad 3x-y \neq 0, \quad x-y \neq 0, \quad x+y \neq 0

Izražavanjem jedne promenljive preko druge, dobijamo konačne uslove definisanosti:

x \neq 3y, \quad y \neq 3x, \quad x \neq y, \quad x \neq -y

Sređujemo prvu zagradu tako što svodimo razlomke na zajednički imenilac:

\frac{x+3y}{x-3y} + \frac{3x+y}{3x-y} = \frac{(x+3y)(3x-y) + (3x+y)(x-3y)}{(x-3y)(3x-y)}

Množimo polinome u brojiocu:

\frac{(3x^2 - xy + 9xy - 3y^2) + (3x^2 - 9xy + xy - 3y^2)}{(x-3y)(3x-y)}

Grupišemo slične članove u brojiocu i izdvajamo zajednički činilac:

\frac{3x^2 + 8xy - 3y^2 + 3x^2 - 8xy - 3y^2}{(x-3y)(3x-y)} = \frac{6x^2 - 6y^2}{(x-3y)(3x-y)} = \frac{6(x^2-y^2)}{(x-3y)(3x-y)}

Sređujemo drugu zagradu svođenjem na zajednički imenilac:

3 + \frac{2y}{x-y} = \frac{3(x-y) + 2y}{x-y} = \frac{3x - 3y + 2y}{x-y} = \frac{3x-y}{x-y}

Sređujemo treću zagradu svođenjem na zajednički imenilac:

1 - \frac{4y}{x+y} = \frac{x+y - 4y}{x+y} = \frac{x-3y}{x+y}

Vraćamo dobijene izraze u početni proizvod:

\frac{6(x^2-y^2)}{(x-3y)(3x-y)} \cdot \frac{3x-y}{x-y} \cdot \frac{x-3y}{x+y}

Rastavljamo razliku kvadrata u brojiocu prvog razlomka koristeći formulu $x^2-y^2 = (x-y)(x+y) :$

\frac{6(x-y)(x+y)}{(x-3y)(3x-y)} \cdot \frac{3x-y}{x-y} \cdot \frac{x-3y}{x+y}

Zapisujemo sve pod jednom razlomačkom crtom:

\frac{6(x-y)(x+y)(3x-y)(x-3y)}{(x-3y)(3x-y)(x-y)(x+y)}

Skraćujemo iste činioce u brojiocu i imeniocu, imajući u vidu uslove definisanosti, i dobijamo konačan rezultat:

6

640.b