4196.

627.b

TEKST ZADATKA

Uprostiti racionalni algebarski izraz i odrediti uslove definisanosti:

n+1n−1−n−1n+1−4nn2−1\frac{n+1}{n-1} - \frac{n-1}{n+1} - \frac{4n}{n^2-1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imenitelji ne smeju biti jednaki nuli. Kako je n2−1=(n−1)(n+1), n^2 - 1 = (n-1)(n+1) , uslovi su:

n−1≠0  ⟹  n≠1n+1≠0  ⟹  n≠−1n-1 \neq 0 \implies n \neq 1 \\ n+1 \neq 0 \implies n \neq -1

Rastavljamo imenilac trećeg razlomka na činioce koristeći razliku kvadrata:

n+1n−1−n−1n+1−4n(n−1)(n+1)\frac{n+1}{n-1} - \frac{n-1}{n+1} - \frac{4n}{(n-1)(n+1)}

Svodimo sve razlomke na najmanji zajednički imenilac, što je (n−1)(n+1): (n-1)(n+1) :

(n+1)2−(n−1)2−4n(n−1)(n+1)\frac{(n+1)^2 - (n-1)^2 - 4n}{(n-1)(n+1)}

Kvadriramo binome u brojocu:

(n2+2n+1)−(n2−2n+1)−4n(n−1)(n+1)\frac{(n^2 + 2n + 1) - (n^2 - 2n + 1) - 4n}{(n-1)(n+1)}

Oslobađamo se zagrada i sređujemo brojilac:

n2+2n+1−n2+2n−1−4n(n−1)(n+1)\frac{n^2 + 2n + 1 - n^2 + 2n - 1 - 4n}{(n-1)(n+1)}

Sabiramo slične članove u brojocu:

(n2−n2)+(2n+2n−4n)+(1−1)(n−1)(n+1)=0(n−1)(n+1)\frac{(n^2 - n^2) + (2n + 2n - 4n) + (1 - 1)}{(n-1)(n+1)} = \frac{0}{(n-1)(n+1)}

Konačna vrednost izraza uz navedene uslove je:

0,n∈R∖{−1,1}0, \quad n \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}