Kvadrat uglaste zagrade deljen sa x na 2 y na 2

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Svi imenioci moraju biti različiti od nule, a takođe i izraz kojim delimo ne sme biti jednak nuli.

\begin{cases} xy - x^2 \neq 0 \\ x \neq 0 \\ x^4 \neq 0 \\ x^2y^2 - y^4 \neq 0 \end{cases}

Rešavanjem ovog sistema dobijamo uslove za $x$ i $y .$

\begin{cases} x(y - x) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq y \\ y^2(x^2 - y^2) \neq 0 \implies y \neq 0, x \neq y, x \neq -y \end{cases}

Konačni uslovi definisanosti su:

x \neq 0, \quad y \neq 0, \quad x \neq y, \quad x \neq -y

Sada prelazimo na uprošćavanje izraza. Počinjemo sa brojiocem prvog razlomka unutar srednje zagrade:

(x + y)^2 - 4xy = x^2 + 2xy + y^2 - 4xy = x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2

Faktorišemo imenilac prvog razlomka:

xy - x^2 = x(y - x) = -x(x - y)

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u prvi razlomak i skraćujemo ga sa $x - y$ (što je dozvoljeno jer je $x \neq y$ ):

\frac{(x - y)^2}{-x(x - y)} = -\frac{x - y}{x}

Sada izraz unutar srednje zagrade postaje:

-\frac{x - y}{x} + \left( \frac{x - y}{x} \right)^2

Kvadriramo drugi sabirak i svodimo na zajednički imenilac $x^2 :$

-\frac{x - y}{x} + \frac{(x - y)^2}{x^2} = \frac{-x(x - y) + (x - y)^2}{x^2}

Izvlačimo zajednički faktor $x - y$ u brojiocu:

\frac{(x - y)[-x + (x - y)]}{x^2} = \frac{(x - y)(-y)}{x^2} = \frac{y(y - x)}{x^2}

Kvadriramo celu srednju zagradu:

\left[ \frac{y(y - x)}{x^2} \right]^2 = \frac{y^2(y - x)^2}{x^4} = \frac{y^2(x - y)^2}{x^4}

Sada faktorišemo izraz kojim delimo (delilac):

\frac{x^2y^2 - y^4}{x^4} = \frac{y^2(x^2 - y^2)}{x^4} = \frac{y^2(x - y)(x + y)}{x^4}

Deljenje razlomaka svodimo na množenje recipročnom vrednošću:

\frac{y^2(x - y)^2}{x^4} : \frac{y^2(x - y)(x + y)}{x^4} = \frac{y^2(x - y)^2}{x^4} \cdot \frac{x^4}{y^2(x - y)(x + y)}

Skraćujemo razlomak sa $x^4 ,$ $y^2$ i $x - y$ (imajući u vidu uslove definisanosti) i dobijamo konačan rezultat:

\frac{x - y}{x + y}

647.g