4208.

634.b

TEKST ZADATKA

Uprostite sledeći izraz:

(a+b+1a+b−1a−b):a2+2ab+b2a2−b2\left(a + b + \frac{1}{a + b} - \frac{1}{a - b}\right) : \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2}
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli, a takođe ni brojilac delioca ne sme biti nula (jer deljenje razlomkom podrazumeva množenje njegovom recipročnom vrednošću).

a+b≠0,a−b≠0,a2−b2≠0,a2+2ab+b2≠0a + b \neq 0, \quad a - b \neq 0, \quad a^2 - b^2 \neq 0, \quad a^2 + 2ab + b^2 \neq 0

Svi ovi uslovi se svode na to da a a ne sme biti jednako b b niti −b. -b .

a≠bia≠−ba \neq b \quad \text{i} \quad a \neq -b

Faktorišemo brojilac i imenilac razlomka kojim delimo. U brojiocu prepoznajemo kvadrat binoma, a u imeniocu razliku kvadrata.

a2+2ab+b2a2−b2=(a+b)2(a−b)(a+b)\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 - b^2} = \frac{(a + b)^2}{(a - b)(a + b)}

Skraćujemo razlomak sa a+b a + b (što je dozvoljeno jer je a+b≠0 a + b \neq 0 ).

(a+b)2(a−b)(a+b)=a+ba−b\frac{(a + b)^2}{(a - b)(a + b)} = \frac{a + b}{a - b}

Sada početni izraz možemo prepisati tako što deljenje zamenjujemo množenjem recipročnom vrednošću dobijenog razlomka.

(a+b+1a+b−1a−b)⋅a−ba+b\left(a + b + \frac{1}{a + b} - \frac{1}{a - b}\right) \cdot \frac{a - b}{a + b}

Množimo svaki član u zagradi sa a−ba+b \frac{a - b}{a + b} (primenjujemo zakon distributivnosti).

(a+b)⋅a−ba+b+1a+b⋅a−ba+b−1a−b⋅a−ba+b(a + b) \cdot \frac{a - b}{a + b} + \frac{1}{a + b} \cdot \frac{a - b}{a + b} - \frac{1}{a - b} \cdot \frac{a - b}{a + b}

Skraćujemo odgovarajuće izraze u svakom od sabiraka.

(a−b)+a−b(a+b)2−1a+b(a - b) + \frac{a - b}{(a + b)^2} - \frac{1}{a + b}

Svodimo poslednja dva razlomka na zajednički imenilac, koji je (a+b)2. (a + b)^2 .

a−b+a−b−(a+b)(a+b)2a - b + \frac{a - b - (a + b)}{(a + b)^2}

Uprošćavamo brojilac dobijenog razlomka.

a−b+a−b−a−b(a+b)2=a−b+−2b(a+b)2a - b + \frac{a - b - a - b}{(a + b)^2} = a - b + \frac{-2b}{(a + b)^2}

Zapisujemo konačan rezultat.

a−b−2b(a+b)2a - b - \frac{2b}{(a + b)^2}