4207.

634.v

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

(12a2+12a2−1−4a24a4−1):a2a2+1\left(\frac{1}{2a^2} + \frac{1}{2a^2 - 1} - \frac{4a^2}{4a^4 - 1}\right) : \frac{a}{2a^2 + 1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli, a takođe ni izraz kojim delimo ne sme biti nula. Uslovi su a≠0 a \neq 0 i a≠±22. a \neq \pm\frac{\sqrt{2}}{2} .

2a2≠0  ⟹  a≠02a2−1≠0  ⟹  a2≠12  ⟹  a≠±222a2+1≠0(uvek tacˇno za realne brojeve)\begin{aligned} 2a^2 &\neq 0 \implies a \neq 0 \\ 2a^2 - 1 &\neq 0 \implies a^2 \neq \frac{1}{2} \implies a \neq \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \\ 2a^2 + 1 &\neq 0 \quad (\text{uvek tačno za realne brojeve}) \end{aligned}

Faktorišemo imenilac trećeg razlomka u zagradi koristeći formulu za razliku kvadrata.

4a4−1=(2a2)2−12=(2a2−1)(2a2+1)4a^4 - 1 = (2a^2)^2 - 1^2 = (2a^2 - 1)(2a^2 + 1)

Zamenjujemo faktorisan imenilac u početni izraz.

(12a2+12a2−1−4a2(2a2−1)(2a2+1)):a2a2+1\left(\frac{1}{2a^2} + \frac{1}{2a^2 - 1} - \frac{4a^2}{(2a^2 - 1)(2a^2 + 1)}\right) : \frac{a}{2a^2 + 1}

Da bismo olakšali računanje, prvo ćemo sabrati drugi i treći razlomak u zagradi. Njihov zajednički imenilac je (2a2−1)(2a2+1). (2a^2 - 1)(2a^2 + 1) .

12a2−1−4a2(2a2−1)(2a2+1)=2a2+1−4a2(2a2−1)(2a2+1)\frac{1}{2a^2 - 1} - \frac{4a^2}{(2a^2 - 1)(2a^2 + 1)} = \frac{2a^2 + 1 - 4a^2}{(2a^2 - 1)(2a^2 + 1)}

Sređujemo brojilac dobijenog razlomka.

1−2a2(2a2−1)(2a2+1)\frac{1 - 2a^2}{(2a^2 - 1)(2a^2 + 1)}

Izvlačimo minus ispred brojioca kako bismo dobili izraz koji možemo da skratimo sa imeniocem.

−(2a2−1)(2a2−1)(2a2+1)=−12a2+1\frac{-(2a^2 - 1)}{(2a^2 - 1)(2a^2 + 1)} = -\frac{1}{2a^2 + 1}

Vraćamo dobijeni rezultat u početnu zagradu i računamo zbir sa prvim razlomkom.

12a2−12a2+1\frac{1}{2a^2} - \frac{1}{2a^2 + 1}

Nalazimo zajednički imenilac za ova dva razlomka, koji iznosi 2a2(2a2+1). 2a^2(2a^2 + 1) .

2a2+1−2a22a2(2a2+1)=12a2(2a2+1)\frac{2a^2 + 1 - 2a^2}{2a^2(2a^2 + 1)} = \frac{1}{2a^2(2a^2 + 1)}

Sada ceo izraz iz zagrade delimo preostalim razlomkom. Deljenje razlomkom je ekvivalentno množenju njegovom recipročnom vrednošću.

12a2(2a2+1):a2a2+1=12a2(2a2+1)⋅2a2+1a\frac{1}{2a^2(2a^2 + 1)} : \frac{a}{2a^2 + 1} = \frac{1}{2a^2(2a^2 + 1)} \cdot \frac{2a^2 + 1}{a}

Skraćujemo izraz 2a2+1 2a^2 + 1 u brojiocu i imeniocu.

12a2⋅a\frac{1}{2a^2 \cdot a}

Množimo preostale članove u imeniocu da bismo dobili konačan rezultat.

12a3\frac{1}{2a^3}