4206.

635.b

TEKST ZADATKA

Uprostiti izraz i navesti uslove definisanosti:

(3a−a2+(a+2)2−a24a2−4)⋅a−2+a2an+1−3an(n∈N)\left(\frac{3}{a - a^2} + \frac{(a + 2)^2 - a^2}{4a^2 - 4}\right) \cdot \frac{a - 2 + a^2}{a^{n+1} - 3a^n} \quad (n \in \mathbb{N})
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti uslove definisanosti izraza. Izraz je definisan kada su svi imenioci različiti od nule. Faktorizujemo imenioce kako bismo lakše odredili uslove:

a−a2=a(1−a)4a2−4=4(a2−1)=4(a−1)(a+1)an+1−3an=an(a−3)\begin{aligned} a - a^2 &= a(1 - a) \\ 4a^2 - 4 &= 4(a^2 - 1) = 4(a - 1)(a + 1) \\ a^{n+1} - 3a^n &= a^n(a - 3) \end{aligned}

Izjednačavanjem imenioca sa nulom dobijamo uslove definisanosti:

a≠0,a≠1,a≠−1,a≠3a \neq 0, \quad a \neq 1, \quad a \neq -1, \quad a \neq 3

Sada prelazimo na uprošćavanje izraza. Sredićemo prvi deo izraza u zagradi. Brojilac drugog razlomka možemo uprostiti koristeći razliku kvadrata ili kvadriranjem binoma:

(a+2)2−a2=(a2+4a+4)−a2=4a+4=4(a+1)(a + 2)^2 - a^2 = (a^2 + 4a + 4) - a^2 = 4a + 4 = 4(a + 1)

Zamenjujemo dobijeni brojilac i faktorizovani imenilac u drugi razlomak u zagradi i skraćujemo ga:

4(a+1)4(a−1)(a+1)=1a−1\frac{4(a + 1)}{4(a - 1)(a + 1)} = \frac{1}{a - 1}

Sada izraz u zagradi postaje:

3a(1−a)+1a−1\frac{3}{a(1 - a)} + \frac{1}{a - 1}

Da bismo sabrali razlomke, moramo ih svesti na zajednički imenilac. Primetimo da je 1−a=−(a−1), 1 - a = -(a - 1) , pa prvi razlomak možemo zapisati drugačije i sabrati:

−3a(a−1)+1a−1=−3+aa(a−1)=a−3a(a−1)\frac{-3}{a(a - 1)} + \frac{1}{a - 1} = \frac{-3 + a}{a(a - 1)} = \frac{a - 3}{a(a - 1)}

Zatim faktorizujemo brojilac drugog dela izraza (kvadratni trinom):

a2+a−2=a2+2a−a−2=a(a+2)−1(a+2)=(a−1)(a+2)a^2 + a - 2 = a^2 + 2a - a - 2 = a(a + 2) - 1(a + 2) = (a - 1)(a + 2)

Zamenjujemo sve uprošćene delove nazad u početni izraz:

a−3a(a−1)⋅(a−1)(a+2)an(a−3)\frac{a - 3}{a(a - 1)} \cdot \frac{(a - 1)(a + 2)}{a^n(a - 3)}

Skraćujemo iste činioce u brojiocu i imeniocu (što smemo da uradimo zbog uslova definisanosti a≠1 a \neq 1 i a≠3 a \neq 3 ):

1a⋅a+2an\frac{1}{a} \cdot \frac{a + 2}{a^n}

Množenjem preostalih razlomaka dobijamo konačan rezultat:

a+2an+1\frac{a + 2}{a^{n+1}}