Izraz sa 3 kroz (a − a na 2) i 4a na 2 − 4

Prvo ćemo odrediti uslove definisanosti izraza. Izraz je definisan kada su svi imenioci različiti od nule. Faktorizujemo imenioce kako bismo lakše odredili uslove:

\begin{aligned} a - a^2 &= a(1 - a) \\ 4a^2 - 4 &= 4(a^2 - 1) = 4(a - 1)(a + 1) \\ a^{n+1} - 3a^n &= a^n(a - 3) \end{aligned}

Izjednačavanjem imenioca sa nulom dobijamo uslove definisanosti:

a \neq 0, \quad a \neq 1, \quad a \neq -1, \quad a \neq 3

Sada prelazimo na uprošćavanje izraza. Sredićemo prvi deo izraza u zagradi. Brojilac drugog razlomka možemo uprostiti koristeći razliku kvadrata ili kvadriranjem binoma:

(a + 2)^2 - a^2 = (a^2 + 4a + 4) - a^2 = 4a + 4 = 4(a + 1)

Zamenjujemo dobijeni brojilac i faktorizovani imenilac u drugi razlomak u zagradi i skraćujemo ga:

\frac{4(a + 1)}{4(a - 1)(a + 1)} = \frac{1}{a - 1}

Sada izraz u zagradi postaje:

\frac{3}{a(1 - a)} + \frac{1}{a - 1}

Da bismo sabrali razlomke, moramo ih svesti na zajednički imenilac. Primetimo da je $1 - a = -(a - 1) ,$ pa prvi razlomak možemo zapisati drugačije i sabrati:

\frac{-3}{a(a - 1)} + \frac{1}{a - 1} = \frac{-3 + a}{a(a - 1)} = \frac{a - 3}{a(a - 1)}

Zatim faktorizujemo brojilac drugog dela izraza (kvadratni trinom):

a^2 + a - 2 = a^2 + 2a - a - 2 = a(a + 2) - 1(a + 2) = (a - 1)(a + 2)

Zamenjujemo sve uprošćene delove nazad u početni izraz:

\frac{a - 3}{a(a - 1)} \cdot \frac{(a - 1)(a + 2)}{a^n(a - 3)}

Skraćujemo iste činioce u brojiocu i imeniocu (što smemo da uradimo zbog uslova definisanosti $a \neq 1$ i $a \neq 3$ ):

\frac{1}{a} \cdot \frac{a + 2}{a^n}

Množenjem preostalih razlomaka dobijamo konačan rezultat:

\frac{a + 2}{a^{n+1}}

Započni učenje

Online časovi

635.b

Beleške