4205.

634.đ

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i navedi uslove definisanosti:

(3x3y3+9xy+9yx+3y3x3):(x2y2+y2x2+2)\left(\frac{3x^3}{y^3} + \frac{9x}{y} + \frac{9y}{x} + \frac{3y^3}{x^3}\right) : \left(\frac{x^2}{y^2} + \frac{y^2}{x^2} + 2\right)
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Imamo razlomke čiji su imenioci stepeni promenljivih x x i y, y , pa oni ne smeju biti jednaki nuli.

x≠0iy≠0x \neq 0 \quad \text{i} \quad y \neq 0

Takođe, izraz kojim delimo ne sme biti jednak nuli. Proverićemo to kasnije kada ga transformišemo. Posmatrajmo prvo deljenik (prvu zagradu) i izdvojimo zajednički činilac 3. 3 .

3(x3y3+3xy+3yx+y3x3)3 \left( \frac{x^3}{y^3} + \frac{3x}{y} + \frac{3y}{x} + \frac{y^3}{x^3} \right)

Prepoznajemo da je izraz u zagradi zapravo razvoj kuba binoma. Prisetimo se formule za kub binoma: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3. (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 . Ako stavimo da je a=xy a = \frac{x}{y} i b=yx, b = \frac{y}{x} , dobijamo:

3((xy)3+3(xy)2(yx)+3(xy)(yx)2+(yx)3)3 \left( \left(\frac{x}{y}\right)^3 + 3\left(\frac{x}{y}\right)^2\left(\frac{y}{x}\right) + 3\left(\frac{x}{y}\right)\left(\frac{y}{x}\right)^2 + \left(\frac{y}{x}\right)^3 \right)

Zapisujemo prvu zagradu kao kub binoma.

3(xy+yx)33 \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right)^3

Sada posmatrajmo delilac (drugu zagradu). Prepoznajemo da je to kvadrat binoma, jer središnji član možemo zapisati kao 2=2⋅xy⋅yx. 2 = 2 \cdot \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x} .

x2y2+2+y2x2=(xy)2+2(xy)(yx)+(yx)2=(xy+yx)2\frac{x^2}{y^2} + 2 + \frac{y^2}{x^2} = \left(\frac{x}{y}\right)^2 + 2\left(\frac{x}{y}\right)\left(\frac{y}{x}\right) + \left(\frac{y}{x}\right)^2 = \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)^2

Sada možemo da proverimo uslov da delilac mora biti različit od nule. Kako je kvadrat realnog broja uvek nenegativan, a x x i y y su različiti od nule, izraz xy+yx \frac{x}{y} + \frac{y}{x} ne može biti nula za realne brojeve (jer bi to značilo x2=−y2 x^2 = -y^2 ). Zato je uslov ispunjen za svako x,y≠0. x, y \neq 0 .

(xy+yx)2≠0\left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)^2 \neq 0

Vraćamo transformisane izraze u početni zadatak i vršimo deljenje.

3(xy+yx)3:(xy+yx)23 \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right)^3 : \left(\frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right)^2

Skraćujemo izraz deljenjem stepena istih osnova.

3(xy+yx)3−2=3(xy+yx)3 \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right)^{3-2} = 3 \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right)

Svodeći razlomke u zagradi na zajednički imenilac, dobijamo konačan rezultat.

3(x2+y2xy)=3(x2+y2)xy3 \left( \frac{x^2 + y^2}{xy} \right) = \frac{3(x^2 + y^2)}{xy}