Proizvod razlike 1 kroz y i 1 kroz x sa zagradom

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

x \neq 0, \quad y \neq 0, \quad x - y \neq 0 \implies x \neq y

Svodimo izraz u prvoj zagradi na zajednički imenilac.

\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{x - y}{xy}

Faktorišemo imenilac prvog razlomka u srednjoj zagradi koristeći formulu za razliku kubova.

x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

Sada tražimo zajednički imenilac za izraz u srednjoj zagradi, što je upravo $(x - y)(x^2 + xy + y^2) .$ Proširujemo drugi i treći razlomak.

\frac{(x + y)^2 + 2y^2}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} - \frac{x^2 + xy + y^2}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} + \frac{(x + y)(x - y)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}

Zapisujemo sve pod istom razlomačkom crtom.

\frac{(x + y)^2 + 2y^2 - (x^2 + xy + y^2) + (x + y)(x - y)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}

Kvadriramo binom i množimo zagrade u brojiocu kako bismo uprostili izraz.

\frac{(x^2 + 2xy + y^2 + 2y^2) - (x^2 + xy + y^2) + (x^2 - y^2)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}

Oslobađamo se zagrada u brojiocu.

\frac{x^2 + 2xy + 3y^2 - x^2 - xy - y^2 + x^2 - y^2}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}

Sređujemo brojilac grupisanjem i sabiranjem sličnih monoma.

\frac{x^2 + xy + y^2}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}

Skraćujemo razlomak sa $x^2 + xy + y^2$ (što je dozvoljeno jer je izraz uvek različit od nule za $x, y \neq 0$ i $x \neq y$ ).

\frac{1}{x - y}

Sada množimo uprošćeni prvi deo i uprošćenu srednju zagradu.

\frac{x - y}{xy} \cdot \frac{1}{x - y}

Skraćujemo $x - y$ u brojiocu i imeniocu da bismo dobili konačan rezultat.

\frac{1}{xy}

648.a