4272.

648.a

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

(1y−1x)⋅[(x+y)2+2y2x3−y3−1x−y+x+yx2+xy+y2]\left( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} \right) \cdot \left[ \frac{(x + y)^2 + 2y^2}{x^3 - y^3} - \frac{1}{x - y} + \frac{x + y}{x^2 + xy + y^2} \right]
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli.

x≠0,y≠0,x−y≠0  ⟹  x≠yx \neq 0, \quad y \neq 0, \quad x - y \neq 0 \implies x \neq y

Svodimo izraz u prvoj zagradi na zajednički imenilac.

1y−1x=x−yxy\frac{1}{y} - \frac{1}{x} = \frac{x - y}{xy}

Faktorišemo imenilac prvog razlomka u srednjoj zagradi koristeći formulu za razliku kubova.

x3−y3=(x−y)(x2+xy+y2)x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)

Sada tražimo zajednički imenilac za izraz u srednjoj zagradi, što je upravo (x−y)(x2+xy+y2). (x - y)(x^2 + xy + y^2) . Proširujemo drugi i treći razlomak.

(x+y)2+2y2(x−y)(x2+xy+y2)−x2+xy+y2(x−y)(x2+xy+y2)+(x+y)(x−y)(x−y)(x2+xy+y2)\frac{(x + y)^2 + 2y^2}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} - \frac{x^2 + xy + y^2}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)} + \frac{(x + y)(x - y)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}

Zapisujemo sve pod istom razlomačkom crtom.

(x+y)2+2y2−(x2+xy+y2)+(x+y)(x−y)(x−y)(x2+xy+y2)\frac{(x + y)^2 + 2y^2 - (x^2 + xy + y^2) + (x + y)(x - y)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}

Kvadriramo binom i množimo zagrade u brojiocu kako bismo uprostili izraz.

(x2+2xy+y2+2y2)−(x2+xy+y2)+(x2−y2)(x−y)(x2+xy+y2)\frac{(x^2 + 2xy + y^2 + 2y^2) - (x^2 + xy + y^2) + (x^2 - y^2)}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}

Oslobađamo se zagrada u brojiocu.

x2+2xy+3y2−x2−xy−y2+x2−y2(x−y)(x2+xy+y2)\frac{x^2 + 2xy + 3y^2 - x^2 - xy - y^2 + x^2 - y^2}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}

Sređujemo brojilac grupisanjem i sabiranjem sličnih monoma.

x2+xy+y2(x−y)(x2+xy+y2)\frac{x^2 + xy + y^2}{(x - y)(x^2 + xy + y^2)}

Skraćujemo razlomak sa x2+xy+y2 x^2 + xy + y^2 (što je dozvoljeno jer je izraz uvek različit od nule za x,y≠0 x, y \neq 0 i x≠y x \neq y ).

1x−y\frac{1}{x - y}

Sada množimo uprošćeni prvi deo i uprošćenu srednju zagradu.

x−yxy⋅1x−y\frac{x - y}{xy} \cdot \frac{1}{x - y}

Skraćujemo x−y x - y u brojiocu i imeniocu da bismo dobili konačan rezultat.

1xy\frac{1}{xy}