4273.

647.g

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz:

[(x+y)2−4xyxy−x2+(x−yx)2]2:x2y2−y4x4\left[ \frac{(x + y)^2 - 4xy}{xy - x^2} + \left( \frac{x - y}{x} \right)^2 \right]^2 : \frac{x^2y^2 - y^4}{x^4}
REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Svi imenioci moraju biti različiti od nule, a takođe i izraz kojim delimo ne sme biti jednak nuli.

{xy−x2≠0x≠0x4≠0x2y2−y4≠0\begin{cases} xy - x^2 \neq 0 \\ x \neq 0 \\ x^4 \neq 0 \\ x^2y^2 - y^4 \neq 0 \end{cases}

Rešavanjem ovog sistema dobijamo uslove za x x i y. y .

{x(y−x)≠0  ⟹  x≠0,x≠yy2(x2−y2)≠0  ⟹  y≠0,x≠y,x≠−y\begin{cases} x(y - x) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq y \\ y^2(x^2 - y^2) \neq 0 \implies y \neq 0, x \neq y, x \neq -y \end{cases}

Konačni uslovi definisanosti su:

x≠0,y≠0,x≠y,x≠−yx \neq 0, \quad y \neq 0, \quad x \neq y, \quad x \neq -y

Sada prelazimo na uprošćavanje izraza. Počinjemo sa brojiocem prvog razlomka unutar srednje zagrade:

(x+y)2−4xy=x2+2xy+y2−4xy=x2−2xy+y2=(x−y)2(x + y)^2 - 4xy = x^2 + 2xy + y^2 - 4xy = x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2

Faktorišemo imenilac prvog razlomka:

xy−x2=x(y−x)=−x(x−y)xy - x^2 = x(y - x) = -x(x - y)

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u prvi razlomak i skraćujemo ga sa x−y x - y (što je dozvoljeno jer je x≠y x \neq y ):

(x−y)2−x(x−y)=−x−yx\frac{(x - y)^2}{-x(x - y)} = -\frac{x - y}{x}

Sada izraz unutar srednje zagrade postaje:

−x−yx+(x−yx)2-\frac{x - y}{x} + \left( \frac{x - y}{x} \right)^2

Kvadriramo drugi sabirak i svodimo na zajednički imenilac x2: x^2 :

−x−yx+(x−y)2x2=−x(x−y)+(x−y)2x2-\frac{x - y}{x} + \frac{(x - y)^2}{x^2} = \frac{-x(x - y) + (x - y)^2}{x^2}

Izvlačimo zajednički faktor x−y x - y u brojiocu:

(x−y)[−x+(x−y)]x2=(x−y)(−y)x2=y(y−x)x2\frac{(x - y)[-x + (x - y)]}{x^2} = \frac{(x - y)(-y)}{x^2} = \frac{y(y - x)}{x^2}

Kvadriramo celu srednju zagradu:

[y(y−x)x2]2=y2(y−x)2x4=y2(x−y)2x4\left[ \frac{y(y - x)}{x^2} \right]^2 = \frac{y^2(y - x)^2}{x^4} = \frac{y^2(x - y)^2}{x^4}

Sada faktorišemo izraz kojim delimo (delilac):

x2y2−y4x4=y2(x2−y2)x4=y2(x−y)(x+y)x4\frac{x^2y^2 - y^4}{x^4} = \frac{y^2(x^2 - y^2)}{x^4} = \frac{y^2(x - y)(x + y)}{x^4}

Deljenje razlomaka svodimo na množenje recipročnom vrednošću:

y2(x−y)2x4:y2(x−y)(x+y)x4=y2(x−y)2x4⋅x4y2(x−y)(x+y)\frac{y^2(x - y)^2}{x^4} : \frac{y^2(x - y)(x + y)}{x^4} = \frac{y^2(x - y)^2}{x^4} \cdot \frac{x^4}{y^2(x - y)(x + y)}

Skraćujemo razlomak sa x4, x^4 , y2 y^2 i x−y x - y (imajući u vidu uslove definisanosti) i dobijamo konačan rezultat:

x−yx+y\frac{x - y}{x + y}