4274. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Uprosti sledeći izraz i odredi uslove definisanosti:

\left[ \frac{b^2 - (a - 2)^2}{a^2 - (b + 2)^2} \cdot \frac{a - b - 2}{a + b - 2} \right] : \frac{4 - (a - b)^2}{(a + b)^2 - 4}

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo faktorisati sve polinome u brojiocima i imeniocima koristeći formulu za razliku kvadrata $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) .$

Faktorišemo brojilac prvog razlomka:

b^2 - (a - 2)^2 = (b - (a - 2))(b + (a - 2)) = (b - a + 2)(a + b - 2)

Faktorišemo imenilac prvog razlomka:

a^2 - (b + 2)^2 = (a - (b + 2))(a + (b + 2)) = (a - b - 2)(a + b + 2)

Faktorišemo brojilac trećeg razlomka (delioca):

4 - (a - b)^2 = 2^2 - (a - b)^2 = (2 - (a - b))(2 + (a - b)) = (2 - a + b)(2 + a - b)

Faktorišemo imenilac trećeg razlomka:

(a + b)^2 - 4 = (a + b)^2 - 2^2 = (a + b - 2)(a + b + 2)

Zamenjujemo dobijene faktorizacije u početni izraz:

\left[ \frac{(b - a + 2)(a + b - 2)}{(a - b - 2)(a + b + 2)} \cdot \frac{a - b - 2}{a + b - 2} \right] : \frac{(2 - a + b)(2 + a - b)}{(a + b - 2)(a + b + 2)}

Pre skraćivanja, određujemo uslove definisanosti. Svi imenioci moraju biti različiti od nule, kao i brojilac delioca (jer se njime deli).

\begin{aligned} a - b - 2 &\neq 0 \implies a - b \neq 2 \\ a + b + 2 &\neq 0 \implies a + b \neq -2 \\ a + b - 2 &\neq 0 \implies a + b \neq 2 \\ 2 - a + b &\neq 0 \implies a - b \neq 2 \\ 2 + a - b &\neq 0 \implies a - b \neq -2 \end{aligned}

Uslove definisanosti možemo kraće zapisati kao:

a + b \neq \pm 2 \quad \text{i} \quad a - b \neq \pm 2

Skraćujemo razlomke unutar srednje zagrade. Članovi $a + b - 2$ i $a - b - 2$ se skraćuju.

\frac{b - a + 2}{a + b + 2} : \frac{(2 - a + b)(2 + a - b)}{(a + b - 2)(a + b + 2)}

Deljenje razlomkom zamenjujemo množenjem njegovom recipročnom vrednošću.

\frac{b - a + 2}{a + b + 2} \cdot \frac{(a + b - 2)(a + b + 2)}{(2 - a + b)(2 + a - b)}

Primećujemo da je $b - a + 2 = 2 - a + b .$ Skraćujemo zajedničke članove $2 - a + b$ i $a + b + 2 .$

\frac{1}{1} \cdot \frac{a + b - 2}{2 + a - b}

Zapisujemo konačan uprošćen izraz.

\frac{a + b - 2}{a - b + 2}

647.a