4270.

648.đ

TEKST ZADATKA

Uprosti izraz i navedi uslove definisanosti:

(2a−1−2a2+2a+2a2−1:a4−aa3+1)⋅a−a22−aa−1\left( \frac{2}{a - 1} - \frac{2a^2 + 2a + 2}{a^2 - 1} : \frac{a^4 - a}{a^3 + 1} \right) \cdot \frac{a - a^2}{2} - \frac{a}{a - 1}
REŠENJE ZADATKA

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Svi imenioci moraju biti različiti od nule, kao i izraz kojim se deli:

a−1≠0  ⟹  a≠1a2−1≠0  ⟹  a≠1,a≠−1a3+1≠0  ⟹  a≠−1a4−a≠0  ⟹  a(a3−1)≠0  ⟹  a≠0,a≠1\begin{aligned} a - 1 &\neq 0 \implies a \neq 1 \\ a^2 - 1 &\neq 0 \implies a \neq 1, a \neq -1 \\ a^3 + 1 &\neq 0 \implies a \neq -1 \\ a^4 - a &\neq 0 \implies a(a^3 - 1) \neq 0 \implies a \neq 0, a \neq 1 \end{aligned}

Na osnovu prethodnog, uslovi definisanosti su:

a∈R∖{−1,0,1}a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}

Faktorišemo polinome u izrazu kako bismo olakšali skraćivanje:

2a2+2a+2=2(a2+a+1)a2−1=(a−1)(a+1)a4−a=a(a3−1)=a(a−1)(a2+a+1)a3+1=(a+1)(a2−a+1)a−a2=a(1−a)=−a(a−1)\begin{aligned} 2a^2 + 2a + 2 &= 2(a^2 + a + 1) \\ a^2 - 1 &= (a - 1)(a + 1) \\ a^4 - a &= a(a^3 - 1) = a(a - 1)(a^2 + a + 1) \\ a^3 + 1 &= (a + 1)(a^2 - a + 1) \\ a - a^2 &= a(1 - a) = -a(a - 1) \end{aligned}

Zamenjujemo faktorisane oblike nazad u početni izraz:

(2a−1−2(a2+a+1)(a−1)(a+1):a(a−1)(a2+a+1)(a+1)(a2−a+1))⋅−a(a−1)2−aa−1\left( \frac{2}{a - 1} - \frac{2(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} : \frac{a(a - 1)(a^2 + a + 1)}{(a + 1)(a^2 - a + 1)} \right) \cdot \frac{-a(a - 1)}{2} - \frac{a}{a - 1}

Deljenje razlomaka prevodimo u množenje recipročnom vrednošću:

(2a−1−2(a2+a+1)(a−1)(a+1)⋅(a+1)(a2−a+1)a(a−1)(a2+a+1))⋅−a(a−1)2−aa−1\left( \frac{2}{a - 1} - \frac{2(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} \cdot \frac{(a + 1)(a^2 - a + 1)}{a(a - 1)(a^2 + a + 1)} \right) \cdot \frac{-a(a - 1)}{2} - \frac{a}{a - 1}

Skraćujemo zajedničke činioce a2+a+1 a^2 + a + 1 i a+1 a + 1 u delu gde se množe razlomci:

(2a−1−2(a2−a+1)a(a−1)2)⋅−a(a−1)2−aa−1\left( \frac{2}{a - 1} - \frac{2(a^2 - a + 1)}{a(a - 1)^2} \right) \cdot \frac{-a(a - 1)}{2} - \frac{a}{a - 1}

Svodi se izraz u zagradi na zajednički imenilac, koji je a(a−1)2: a(a - 1)^2 :

(2a(a−1)−2(a2−a+1)a(a−1)2)⋅−a(a−1)2−aa−1\left( \frac{2a(a - 1) - 2(a^2 - a + 1)}{a(a - 1)^2} \right) \cdot \frac{-a(a - 1)}{2} - \frac{a}{a - 1}

Sređujemo brojilac u zagradi:

2a2−2a−2a2+2a−2a(a−1)2⋅−a(a−1)2−aa−1\frac{2a^2 - 2a - 2a^2 + 2a - 2}{a(a - 1)^2} \cdot \frac{-a(a - 1)}{2} - \frac{a}{a - 1}

Nakon poništavanja suprotnih članova u brojiocu, dobijamo:

−2a(a−1)2⋅−a(a−1)2−aa−1\frac{-2}{a(a - 1)^2} \cdot \frac{-a(a - 1)}{2} - \frac{a}{a - 1}

Množimo prva dva razlomka i skraćujemo −2 -2 sa 2, 2 , kao i −a(a−1) -a(a - 1) sa a(a−1)2: a(a - 1)^2 :

1a−1−aa−1\frac{1}{a - 1} - \frac{a}{a - 1}

Oduzimamo preostale razlomke koji već imaju isti imenilac:

1−aa−1\frac{1 - a}{a - 1}

Izvlačimo minus u brojiocu kako bismo skratili razlomak:

−(a−1)a−1=−1\frac{-(a - 1)}{a - 1} = -1