Izraz sa 2 kroz (a − 1) i a na 4 − a

Prvo određujemo uslove definisanosti izraza. Svi imenioci moraju biti različiti od nule, kao i izraz kojim se deli:

\begin{aligned} a - 1 &\neq 0 \implies a \neq 1 \\ a^2 - 1 &\neq 0 \implies a \neq 1, a \neq -1 \\ a^3 + 1 &\neq 0 \implies a \neq -1 \\ a^4 - a &\neq 0 \implies a(a^3 - 1) \neq 0 \implies a \neq 0, a \neq 1 \end{aligned}

Na osnovu prethodnog, uslovi definisanosti su:

a \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 0, 1\}

Faktorišemo polinome u izrazu kako bismo olakšali skraćivanje:

\begin{aligned} 2a^2 + 2a + 2 &= 2(a^2 + a + 1) \\ a^2 - 1 &= (a - 1)(a + 1) \\ a^4 - a &= a(a^3 - 1) = a(a - 1)(a^2 + a + 1) \\ a^3 + 1 &= (a + 1)(a^2 - a + 1) \\ a - a^2 &= a(1 - a) = -a(a - 1) \end{aligned}

Zamenjujemo faktorisane oblike nazad u početni izraz:

\left( \frac{2}{a - 1} - \frac{2(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} : \frac{a(a - 1)(a^2 + a + 1)}{(a + 1)(a^2 - a + 1)} \right) \cdot \frac{-a(a - 1)}{2} - \frac{a}{a - 1}

Deljenje razlomaka prevodimo u množenje recipročnom vrednošću:

\left( \frac{2}{a - 1} - \frac{2(a^2 + a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} \cdot \frac{(a + 1)(a^2 - a + 1)}{a(a - 1)(a^2 + a + 1)} \right) \cdot \frac{-a(a - 1)}{2} - \frac{a}{a - 1}

Skraćujemo zajedničke činioce $a^2 + a + 1$ i $a + 1$ u delu gde se množe razlomci:

\left( \frac{2}{a - 1} - \frac{2(a^2 - a + 1)}{a(a - 1)^2} \right) \cdot \frac{-a(a - 1)}{2} - \frac{a}{a - 1}

Svodi se izraz u zagradi na zajednički imenilac, koji je $a(a - 1)^2 :$

\left( \frac{2a(a - 1) - 2(a^2 - a + 1)}{a(a - 1)^2} \right) \cdot \frac{-a(a - 1)}{2} - \frac{a}{a - 1}

Sređujemo brojilac u zagradi:

\frac{2a^2 - 2a - 2a^2 + 2a - 2}{a(a - 1)^2} \cdot \frac{-a(a - 1)}{2} - \frac{a}{a - 1}

Nakon poništavanja suprotnih članova u brojiocu, dobijamo:

\frac{-2}{a(a - 1)^2} \cdot \frac{-a(a - 1)}{2} - \frac{a}{a - 1}

Množimo prva dva razlomka i skraćujemo $-2$ sa $2 ,$ kao i $-a(a - 1)$ sa $a(a - 1)^2 :$

\frac{1}{a - 1} - \frac{a}{a - 1}

Oduzimamo preostale razlomke koji već imaju isti imenilac:

\frac{1 - a}{a - 1}

Izvlačimo minus u brojiocu kako bismo skratili razlomak:

\frac{-(a - 1)}{a - 1} = -1

648.đ