Proizvod razlomka 3x − 6 kroz x + 2 i zagrade

Određujemo uslove definisanosti. Imenioci ne smeju biti jednaki nuli, a takođe ni izraz kojim delimo ne sme biti nula.

\begin{aligned} x + 2 &\neq 0 \implies x \neq -2 \\ x - 2 &\neq 0 \implies x \neq 2 \\ 3x &\neq 0 \implies x \neq 0 \\ x^3 - 8 &\neq 0 \implies x \neq 2 \\ 2x + 2 &\neq 0 \implies x \neq -1 \end{aligned}

Konačan uslov definisanosti je da $x$ pripada skupu realnih brojeva bez vrednosti koje anuliraju imenioce.

x \in \mathbb{R} \setminus \{-2, -1, 0, 2\}

Faktorišemo polinome u izrazu kako bismo olakšali skraćivanje.

\begin{aligned} 3x - 6 &= 3(x - 2) \\ x^3 - 8 &= (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \\ x^2 + 4x + 4 &= (x + 2)^2 \\ 2x + 2 &= 2(x + 1) \end{aligned}

Zamenjujemo faktorisane oblike u početni izraz.

\frac{3(x - 2)}{x + 2} \left( \frac{3}{x - 2} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} : \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{3x} \right) \cdot \frac{(x + 2)^2}{2(x + 1)}

Deljenje razlomaka u zagradi prevodimo u množenje recipročnom vrednošću.

\frac{3(x - 2)}{x + 2} \left( \frac{3}{x - 2} + \frac{x^2 + 2x + 4}{x + 2} \cdot \frac{3x}{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)} \right) \cdot \frac{(x + 2)^2}{2(x + 1)}

Skraćujemo izraz $x^2 + 2x + 4$ u zagradi.

\frac{3(x - 2)}{x + 2} \left( \frac{3}{x - 2} + \frac{3x}{(x + 2)(x - 2)} \right) \cdot \frac{(x + 2)^2}{2(x + 1)}

Sabiramo razlomke u zagradi. Zajednički imenilac je $(x - 2)(x + 2) .$ Prvi razlomak proširujemo sa $x + 2 .$

\frac{3(x - 2)}{x + 2} \left( \frac{3(x + 2) + 3x}{(x - 2)(x + 2)} \right) \cdot \frac{(x + 2)^2}{2(x + 1)}

Sređujemo brojilac u zagradi.

\frac{3(x - 2)}{x + 2} \cdot \frac{3x + 6 + 3x}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{(x + 2)^2}{2(x + 1)} = \frac{3(x - 2)}{x + 2} \cdot \frac{6x + 6}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{(x + 2)^2}{2(x + 1)}

Faktorišemo izraz $6x + 6$ u brojiocu.

\frac{3(x - 2)}{x + 2} \cdot \frac{6(x + 1)}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{(x + 2)^2}{2(x + 1)}

Množimo razlomke i zapisujemo sve pod jednom razlomačkom crtom.

\frac{3(x - 2) \cdot 6(x + 1) \cdot (x + 2)^2}{(x + 2) \cdot (x - 2)(x + 2) \cdot 2(x + 1)}

Sređujemo imenilac množenjem istih činilaca.

\frac{18(x - 2)(x + 1)(x + 2)^2}{2(x - 2)(x + 1)(x + 2)^2}

Skraćujemo zajedničke činioce u brojiocu i imeniocu ( $x - 2 ,$ $x + 1$ i $(x + 2)^2$ ) i dobijamo konačan rezultat.

\frac{18}{2} = 9

648.g