Izraz sa 2a − 3x kroz (a + x) i 2x − 3a kroz (a − x)

Prvo, određujemo uslove definisanosti izraza. Imenioci razlomaka ne smeju biti jednaki nuli:

\begin{aligned} a+x &\neq 0 \implies x \neq -a \\ a-x &\neq 0 \implies x \neq a \\ a^2-x^2 &\neq 0 \implies x \neq \pm a \end{aligned}

Fokusiramo se na prvu zagradu. Zajednički imenilac za razlomke je $a^2-x^2 = (a-x)(a+x) .$ Proširujemo prva dva razlomka:

\frac{(2a-3x)(a-x) + (2x-3a)(a+x) - (6ax-5x^2)}{(a-x)(a+x)}

Množimo polinome u brojiocu prve zagrade:

\begin{aligned} (2a-3x)(a-x) &= 2a^2 - 2ax - 3ax + 3x^2 = 2a^2 - 5ax + 3x^2 \\ (2x-3a)(a+x) &= 2ax + 2x^2 - 3a^2 - 3ax = -3a^2 - ax + 2x^2 \end{aligned}

Zamenjujemo dobijene izraze nazad u brojilac i oslobađamo se zagrada:

\frac{(2a^2 - 5ax + 3x^2) + (-3a^2 - ax + 2x^2) - 6ax + 5x^2}{(a-x)(a+x)}

Grupišemo slične monome u brojiocu:

\frac{(2a^2 - 3a^2) + (-5ax - ax - 6ax) + (3x^2 + 2x^2 + 5x^2)}{(a-x)(a+x)} = \frac{-a^2 - 12ax + 10x^2}{(a-x)(a+x)}

Sada prelazimo na drugu zagradu (delilac). Zajednički imenilac je takođe $a^2-x^2 = (a-x)(a+x) :$

\frac{a(a+x) - 2ax}{(a-x)(a+x)}

Sređujemo brojilac druge zagrade:

\frac{a^2 + ax - 2ax}{(a-x)(a+x)} = \frac{a^2 - ax}{(a-x)(a+x)}

Izvlačimo zajednički činilac $a$ u brojiocu i skraćujemo razlomak:

\frac{a(a-x)}{(a-x)(a+x)} = \frac{a}{a+x}

Pošto delimo ovim izrazom, on ne sme biti jednak nuli, pa dodajemo još jedan uslov definisanosti:

\frac{a}{a+x} \neq 0 \implies a \neq 0

Vraćamo se na početni izraz i menjamo zagrade dobijenim rezultatima. Deljenje razlomkom prevodimo u množenje njegovom recipročnom vrednošću:

\frac{10x^2 - 12ax - a^2}{(a-x)(a+x)} \cdot \frac{a+x}{a}

Skraćujemo izraz sa $a+x$ (što je dozvoljeno jer je $x \neq -a$ ):

\frac{10x^2 - 12ax - a^2}{a(a-x)}

Konačan rezultat, uz uslove $x \neq a ,$ $x \neq -a$ i $a \neq 0 ,$ glasi:

\frac{10x^2 - 12ax - a^2}{a(a-x)}

644.a