Uprošćavanje razlomka sa kvadratima xy + 1 i x + y

Primetimo da je izraz u brojiocu razlika kvadrata oblika $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B) .$ Primenjujemo ovu formulu.

(xy + 1)^2 - (x + y)^2 = (xy + 1 - (x + y))(xy + 1 + x + y)

Oslobađamo se unutrašnjih zagrada i sređujemo izraze.

(xy - x - y + 1)(xy + x + y + 1)

Faktorišemo prvu zagradu metodom grupisanja članova.

xy - x - y + 1 = x(y - 1) - (y - 1) = (x - 1)(y - 1)

Faktorišemo drugu zagradu metodom grupisanja članova.

xy + x + y + 1 = x(y + 1) + (y + 1) = (x + 1)(y + 1)

Zamenjujemo dobijene faktore nazad u brojilac.

(x - 1)(y - 1)(x + 1)(y + 1)

Sada posmatramo imenilac. Primenjujemo formulu za razliku kvadrata na $x^2 - 1$ i $y^2 - 1 .$

(x^2 - 1)(y^2 - 1) = (x - 1)(x + 1)(y - 1)(y + 1)

Zapisujemo početni razlomak sa faktorisanim brojiocem i imeniocem.

\frac{(x - 1)(y - 1)(x + 1)(y + 1)}{(x - 1)(x + 1)(y - 1)(y + 1)}

Skraćujemo iste članove u brojiocu i imeniocu, uz uslov da imenilac nije nula, odnosno $x \neq \pm 1$ i $y \neq \pm 1 .$

1

623.l