Uprošćavanje razlomka sa a na 6 i a na 8

Prvo ćemo faktorisati brojilac. Grupisaćemo prvi i drugi član, kao i treći i četvrti član:

a^6 + a^4 - a^2 - 1 = (a^6 + a^4) - (a^2 + 1)

Izvlačimo zajedničke faktore iz svake grupe. Iz prve grupe izvlačimo $a^4 :$

a^4(a^2 + 1) - 1(a^2 + 1)

Sada izvlačimo zajedničku zagradu $(a^2 + 1) :$

(a^2 + 1)(a^4 - 1)

Izraz $a^4 - 1$ možemo rastaviti kao razliku kvadrata:

(a^2 + 1)(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2 - 1)(a^2 + 1)^2

Sada ćemo faktorisati imenilac. Grupisaćemo prvi i drugi član, kao i treći i četvrti član:

a^8 - a^6 + a^2 - 1 = (a^8 - a^6) + (a^2 - 1)

Izvlačimo zajednički faktor $a^6$ iz prve grupe:

a^6(a^2 - 1) + 1(a^2 - 1)

Izvlačimo zajedničku zagradu $(a^2 - 1) :$

(a^2 - 1)(a^6 + 1)

Vraćamo faktorisani brojilac i imenilac u početni razlomak:

\frac{(a^2 - 1)(a^2 + 1)^2}{(a^2 - 1)(a^6 + 1)}

Skraćujemo razlomak sa $a^2 - 1$ (uz uslov da je $a \neq \pm 1$ ):

\frac{(a^2 + 1)^2}{a^6 + 1}

Imenilac $a^6 + 1$ možemo faktorisati kao zbir kubova, jer je $a^6 + 1 = (a^2)^3 + 1^3 :$

a^6 + 1 = (a^2 + 1)((a^2)^2 - a^2 \cdot 1 + 1^2) = (a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)

Zamenjujemo ovo u imenilac razlomka:

\frac{(a^2 + 1)^2}{(a^2 + 1)(a^4 - a^2 + 1)}

Skraćujemo razlomak sa $a^2 + 1 :$

\frac{a^2 + 1}{a^4 - a^2 + 1}

623.z