Skraćivanje razlomka (16 − x na 2) kroz (x na 3 − 64)

Prvo ćemo rastaviti brojilac i imenilac na činioce. Brojilac $16-x^2$ prepoznajemo kao razliku kvadrata $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) .$

16 - x^2 = 4^2 - x^2 = (4-x)(4+x)

Imenilac $x^3-64$ prepoznajemo kao razliku kubova $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) .$

x^3 - 64 = x^3 - 4^3 = (x-4)(x^2 + 4x + 16)

Pre skraćivanja, moramo odrediti uslov pod kojim je razlomak definisan. Imenilac ne sme biti nula.

x^3 - 64 \neq 0 \implies (x-4)(x^2 + 4x + 16) \neq 0

Izraz $x^2 + 4x + 16$ je uvek pozitivan jer je diskriminanta $D = 4^2 - 4 \cdot 16 = 16 - 64 = -48 < 0 ,$ pa je jedini uslov:

x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4

Sada zamenjujemo rastavljene izraze u početni razlomak. Primetimo da je $4-x = -(x-4) .$

\frac{(4-x)(4+x)}{(x-4)(x^2 + 4x + 16)} = \frac{-(x-4)(4+x)}{(x-4)(x^2 + 4x + 16)}

Skraćivanjem zajedničkog činioca $(x-4)$ dobijamo konačan oblik uz navedeni uslov.

-\frac{4+x}{x^2 + 4x + 16}, \quad x \neq 4

620.d