4055.

620.a

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomak i zapisati uslove pod kojima dobijena jednakost važi:

x2−4x2−5x+6\frac{x^2-4}{x^2-5x+6}
REŠENJE ZADATKA

Prvo rastavljamo brojilac na činioce koristeći formulu za razliku kvadrata a2−b2=(a−b)(a+b). a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) .

x2−4=x2−22=(x−2)(x+2)x^2 - 4 = x^2 - 2^2 = (x-2)(x+2)

Zatim rastavljamo imenilac na činioce. Imenilac je kvadratni trinom x2−5x+6. x^2-5x+6 . Tražimo dva broja čiji je zbir 5, a proizvod 6, ili rešavamo kvadratnu jednačinu x2−5x+6=0. x^2-5x+6=0 .

x2−5x+6=x2−2x−3x+6=x(x−2)−3(x−2)=(x−2)(x−3)x^2 - 5x + 6 = x^2 - 2x - 3x + 6 = x(x-2) - 3(x-2) = (x-2)(x-3)

Pre skraćivanja, moramo definisati uslove pod kojima razlomak postoji. Imenilac ne sme biti jednak nuli.

x2−5x+6≠0  ⟹  (x−2)(x−3)≠0x^2 - 5x + 6 \neq 0 \implies (x-2)(x-3) \neq 0

Iz uslova da je imenilac različit od nule, dobijamo da promenljiva x x ne sme uzimati sledeće vrednosti:

x−2≠0  ⟹  x≠2x−3≠0  ⟹  x≠3x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 \\ x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3

Sada zapisujemo razlomak u rastavljenom obliku i vršimo skraćivanje zajedničkog činioca (x−2). (x-2) .

x2−4x2−5x+6=(x−2)(x+2)(x−2)(x−3)=x+2x−3\frac{x^2-4}{x^2-5x+6} = \frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{x+2}{x-3}

Konačan rezultat sa navedenim uslovima je:

x+2x−3,x∈R∖{2,3}\frac{x+2}{x-3}, \quad x \in \mathbb{R} \setminus \{2, 3\}