4082. Operacije sa racionalnim algebarskim izrazima

TEKST ZADATKA

Skratiti razlomke i zapisati uslove pod kojima dobijene jednakosti važe (zadaci 618-624): $\frac{4x^2a^4-36a^2y^2}{5a^3x^2+30a^2xy+45ay^2}$ ;

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo faktorisati brojilac. Izvlačimo zajednički činilac $4a^2$ ispred zagrade, a zatim primenjujemo formulu za razliku kvadrata.

4x^2a^4 - 36a^2y^2 = 4a^2(x^2a^2 - 9y^2) = 4a^2(ax - 3y)(ax + 3y)

Sada ćemo faktorisati imenilac. Izvlačimo zajednički činilac $5a$ ispred zagrade, a zatim prepoznajemo kvadrat binoma.

5a^3x^2 + 30a^2xy + 45ay^2 = 5a(a^2x^2 + 6axy + 9y^2) = 5a(ax + 3y)^2

Zapisujemo početni razlomak u faktorisanom obliku.

\frac{4a^2(ax - 3y)(ax + 3y)}{5a(ax + 3y)^2}

Pre skraćivanja, moramo odrediti uslove pod kojima je razlomak definisan. Imenilac mora biti različit od nule.

5a(ax + 3y)^2 \neq 0

Iz ovoga dobijamo dva uslova koja moraju biti ispunjena da bi jednakost važila.

a \neq 0 \quad \text{i} \quad ax + 3y \neq 0 \implies ax \neq -3y

Sada možemo skratiti razlomak. Delimo i brojilac i imenilac sa $a(ax + 3y) .$

\frac{4a^2(ax - 3y)(ax + 3y)}{5a(ax + 3y)^2} = \frac{4a(ax - 3y)}{5(ax + 3y)}

621.d